谈数形结合在中学数学教育中的应用

——以初中数学为例

MATHEMATICS, MATHEMATICIANS, AND MATHEMATICS EDUCATION

HYMAN BASS

摘要：数学与数学教育之间的关系紧密。数学家对于数学教育的研究还在继续，并不断地深化。教师在教数学的过程中,必须同时工作尊重数学思想的完整性,还要参加密切数学发展。

关键词：数学； 数学教育； 数学专业知识

我是越来越多正在从事学校数学教育研究的数学家之一。这样的推广有着悠久而光荣的传统。在这个讲座,我将说明的一些我认为是有用的，甚至是至关重要的方法。

在1990年作为ICMI的总统退休的时候，Jean Pierre Kahane 发表了以下关于数学和数学教育之间的紧密关系的条款：

bull;再没有任何其他的生活科学能够演示学科知识到教授的知识之间的转换是在研究水平上如此重要

bull;然而,再没有其他学科,新旧知识之间的距离和新如此之大

bull;再没有其他科学有数学的教与学这样的社会的重要性。

bull;再没有任何其他科学，（数学）是有这样一个古老的科学家们对于教育问题的承诺的传统

这是我讲座的最后一个观点。

让我从一些背景的观察开始。虽然大学教学是学术数学家的职业生活实质性的一部分，近年来许多数学研究家参加学校的数学教育的研究。所谓的“数学大战”已经引起了广泛的关注,在美国有一个不幸的术语来描述数学家和教育者在内容、目标、和教育学的课程之间的冲突。虽然这些“战争”吸引了大量的注意力, 在我们的职业里数学家参与了一个更长的历史。大部分的历史并不是主要的一个历史的冲突。接下来,我将提供一些那段历史的快照来更好地了解我们传统的数学教育。这个传统既启迪又鼓舞人心。

我特别选择去关注参与研究的数学家，为了消除两种常见的情况。首先，它是一种常见的信念对于认为教育在科学的衰弱过程中是科学家的一种警示精神食粮（牧草）的数学家来说。我的例子包括大量在我们的职业和在高生产力的数学事业阶段的学者。第二,许多教育者质疑那些相关性研究贡献的数学家，他们的经验和知识是如此远离和担忧学校数学教育的现实。我认为知识、实践和思维习惯的研究不仅与学校的数学教育有关,数学情感和观念还是在维持数学教育的平衡性和完整性的过程中是至关重要的，无论课程开发、教师教育、评估等。

数学教育不是数学。这是一个使基本使用高度专业化类型的数学知识的领域的专业工作，在这个意义上,我建议,它可以被有效地视为一种应用数学。我认为,正如在其他领域的“应用数学”,希望在这个领域的贡献的数学家的第一个任务是敏感地理解应用程序领域,其数学问题的本质,以及数学知识的形式，这是有用的和可用在这个领域中。

讲座分为三部分：

1. 简要介绍两个主要历史人物的工作
2. 一些当代场景的观察
3. 一个渗透到我个人参与过的一些工作的例子

1. 一个历史视图(1870 - 1970)

传统数学教育的参与

一个世纪以来,许多著名的数学家们研究投入大量的专业关注数学教育,甚至在预科水平。我选择了两个著名的例子Felix Klein和HansFreudenthal来说明领先的数学家所做的教育的各种工作。我选择了他们,因为他们在这个领域的地位,他们所做的在数学教育上的意义,也是因为他们的故事照亮数学家能够贡献专业。

Felix Klein

Felix Klein出生在1849年4月25日。(他喜欢指出他的生日(52/22/432)由素数得平方组成)。他是ICMI的第一任总统，一个1908年在柏林为了关注教育问题的关注数学家成立的国际组织。

Klein最著名的数学遗产,主要启发与Sophus Lie的对话,反复总结作为对称群的几何图形是他的方针。这是一份发表的论文中提出的观点,那时他23岁,是埃朗根大学的一名教授。

但他的就职演讲的主题没有被大家认可。 他选择了“我未来的学术活动的教育原则和目标。”来代替讲座的主题, “换句话说,他给了一个关于数学教育的就职演讲。

在他的就职演讲Klein强调统一的知识,特别是强调科学与人文之间的密切关系。在数学中,他主张集中注意在应用方面,以及纯数学方面、数学和与其他科学的关系。而参加到严谨性和逻辑能力,在同一时间,他强烈要求培养直觉和想象力。值得注意的为我们的主题,他宣称认真注意学校的教师数学准备的重要性。

Klein发表30多个文章和书籍处理教育事务。其中最显著是他的书《从一个先进的初等数学角度来看》。这已被翻译成好几种语言,并继续受益地阅读。他的目的是为学校教师准备,也是为了他们的教师,一个学校数学课程的数学角度。同时,他不假装这充分的准备为了学生的数学教学, 一个他显示最大的尊重、灵敏度和甚至谦卑的任务。例如,他写道:认为一个基本学校的老师必须有高的性能。想象培训是必要的反复灌输直至反复十万次的方法。有算术原的准备好的孩子！试与你的大学培训;你不会有大的成功!

数学家没有转而严肃关注数学教育常常无法欣赏小学数学教学中的认知和认识论的微妙。下面是一个示例通道,唤起Klein这些事情的灵敏度。

让我们意识到曾经并着重在如何异常困难原则是发生在学校的步骤,当负数被介绍了hellip;在这里,我们第一次见到从混乱到正式的数学的过渡。这种转变完整的掌握需要一个高阶的抽象能力。

我们能说什么是克莱恩的数学教育贡献?克莱因一个单一的个人体现了丰富的少有的如此和谐的组合。他是一个有着惊人的早熟和文化广度,和高尚的和统一的视图的整个数学的数学家。他尊重严谨性,但喜欢直觉和想象力,这意味着数学需要从科学和经验世界。他摆脱了非常敏感年轻的学习者在学校学习数学的方式和富有同情心的向老师们所面临的挑战。他自己是一个有教师天赋数学家和未来学校的教师,一个被人尊敬的专业合作伙伴。

Hans Freudenthal

Freudenthal有着非常广泛数学和文化兴趣。在数学他研究拓扑、逻辑、概率和统计。他还写了一本关于推广数学,和他工作相关的书。他是一位天才的语言学家,甚至开发了一种与外星语言通信的语言。在与Freudenthal激烈的争议中,“别向我大喊大叫,我能喊的语言比在更多”。Freudenthal是迷人的、调皮,好辩的,独裁,一位维权人士,他做了很多事情。

在德国出生和受教育, Freudenthal在阿姆斯特丹得了第一位置,在希特勒面前上台。但是1940年德国入侵荷兰迫使身为犹太人的Freudenthal躲藏起来在战争的持续时间。在这段时间里他写小说,其中一个赢得了比赛,他使用非犹太朋友的名字进入! Freudenthal认为数学不主要是身体的知识,而是作为一种人类活动,他敦促,数学教育也应如此。这是应该的,他认为,是建立在现实现象上的,“求周围是组织”——这个过程他称之为“数学化”,一个形式的数学建模真正的问题或组织和合成的数学思想。他反对演绎方法和支持而不是从具体的发展一般。他在大多数教育改革和教育研究中起到非常关键的作用。他相信“数学”,喜欢异构类。

数学对他眼中的理想的自然的年轻学习者的遭遇数学。每一个被认为是在细晶粒的特殊问题很重要完整的数学课程。不过,这项工作,每个贡献是独特的。克莱因检查和重新编写一个视觉的学校水平课程,提供一个视图的课程,坐落在较大的数学景观。他还试图模型都有重要的数学家做出了大量的贡献,这些贡献是必不可少的谦卑。创建国际委员会在数学教学设置基础数学之间的联系和制度化教育社区。戴夫也曾明确地建立新的结构之间的相互作用数学家和数学教育者;在特定的制度的国际代表大会提供了一个普通的上下文交换跨越国家和学科界限。但是,不像克莱因,戴夫也直接参与在提高学生数学学习的机会。他开发了大量的想法是年轻人应该从事数学化以及这如何可以支持发展数学技能和知识。他的想法提供了重要的研究基础和课程开发工作,一直持续到今天。克莱恩和戴夫,每个人用自己的方式,比如如何发音数学情感和观点会影响数学教育的年轻人。和每个帮助建立合法性和可能的自然数学家的数学教育的参与。正是这种传统我争取强调在这个讲座。

当代场景(1970 - 2004)

目前参与的数学家在数学教育在这个简短的调查当代的场景,我将集中探讨美国的情况,公理的形式主义,而不是通过一个过程的有机泛化从直观的开端。这是致命的,它的视觉。这个缺点的新的数学沉淀在美国“返璞归真”反动运动在1970年代,这一次使数学教育在有些基本的状态,其结果又来提高国家的警钟1980年的,暗示的出版的国家风险(1983)从美国教育部门。这一次的反应不是来自数学家,但从教育者,特别是全国数学教师理事会、专业组织的数学老师。这导致了自公布之日起施行,第一次在美国历史上的新国家标准的数学教育。

这是紧随其后的是联邦政府资助的发展而冒险基于标准的课程,在其建设研究的数学家几乎没有声音。当这些新课程第一个进入教室,终于被知道更具体地说,一些数学家(尤其是那些有学龄的孩子)帮助领导公众抗议的影响我们还协调。他们有表示担忧课程、标准、评估、教师准备和专业开发和教学实践。在这种环境下的批评和冲突,许多著名的数学家已经卷起他们的袖子,拍摄他们的批评到地面,并开始挖掘学校数学教育的重要问题。作为数学家都已获得了一个更强的声音在教育政策环境,他们已经开始获得更好的聆听的能力,听,因为他们工作在地上练习老师和更严谨的论述与教育研究人员。随着时间的推移,这些话语已经实现了从冗长的辩论的标准,课程,并评估更为审慎的注意教师和教学

在2004年的经验教训

需要沉浸在数学问题的学校教育一个观察,根据我的简短的叙述,是传统的例证Felix Klein和 Hans Freudenthal的持续繁荣。数学家的我提到他们投入大量专业知识和时间严重学校数学教育的问题。但第二个观察是那些贡献,产品的重要研究数学家,是有可能的,因为他们已经开发出一种深知识问题的预科数学。他们投资的努力学习关于现象和环境,人们和问题,非常远日常世界的数学研究。对这些知识的,反过来,让他们看到他们的数学方法知识和情感为这些问题提供了资源,这种方式并不总是那些他们会首先假定或预期。

一个数学同事,在他最近的沉浸在一个为期八天的暑期学院数学教师教育者,作证说,“我发现自己完全沉浸在严重的数学对话关于部门的分数,事实上,我仍然发现相当令人惊讶。”说明数学对话可能强化教育的问题,我把最后一个我自己的经历。经过一段时间教育委员会服务的政策和环境,我变得更加认真地从事数学教育作为知识和专业的努力。在过去的十年里,我一直在与黛博拉球和她的研究小组在密歇根大学。我们工作的一个核心问题是为了更好地理解数学知识和资源基础教师需要做的工作,教数学,必须同时工作尊重数学思想的完整性,还要参加密切数学发展。我会说更多关于这下面。但首先,为了给你一个更加的生动感觉这种工作,我邀请你现在检查一集从一个真正的初等数学课程。提供一个示例,使生动和可见的一些复杂的数学教学工作。哲学取向的指令是:

(1)工作在大量数学和治疗数学与完整性

(2)采取学生认真地思考,让它不可或缺的部分指令

(3)对施工的数学

知识作为一个知识分子的工作集体,数学证明和评价解决方案和索赔作为一个核心要求学生工作。孩子们在工作上即使和奇数。他们来到三年级“知道”甚至很奇怪,但是并没有任何这些概念的正式定义。在这个班里,主题是介绍通过调查的问题:

Mick已经30美分在他的口袋里,他想花它所有(在口香糖和椒盐脆饼干)和没有任何改变左在他的口袋里。什么他能买30美分吗?他的选择是什么?这个问题的解决方案推动孩子遇到的概念偶数和奇数号码,并最终使猜测他们的算术属性。

这些结果也正是这些自然数,不是一个差的两个正方形。所以,想法浮出水面,肖恩的天生的好奇心关于数字事实上有一些有趣的数学意义,他无法预期,但这可能图在老师的评价多少教学发挥给它。事上,一旦美实质上定义这些肖恩数字,学生最终开始探索他们的属性发现模式；制作和证明猜想。但是,更重要的是,孩子们学习,超越的性能肖恩数字、数学的技能教学工作吗?“要回答这个问题,我们很自然,学习实际教学,包括教师的工作做的里面和外面的教室去教数学。我们的考试以上一集教学给了一个瞥见所牵涉在这样的实践研究。根据这些观察我们分析数学要求的工作,要求经常被忽略和我们学习比较充实。这反过来告诉我们的进化,基于实践的问题的案,“什么是数学知识的教学(MKT)?“理解这是重要的提高教师数学准备。我们使用术语“数学知识教学”来表示的数学知识、技能、思维习惯和情感,限定的实际的教学工作。和“工作教学”我们指的是日常任务中,教师参与,和自身责任,教数学,课内外,例如:规划课程,设计和修改任务,与父母交流关于孩子的工作和进展,介绍其概念、写作和评估测试等。这些组成专业的任务,教师需要知道和使用数学在不同的方式。在这个过程中我们发现了它自然的和有用的区分四个不同类别的:

(1)常见的数学知识(预计将被任何受过良好教育成人)；

(2)专门的数学知识(严格的数学知识,是特别的教学的工作,但不是必需的,或已知的,在其他数学密集型行业(包括数学研究))；

(3)数学知识和学生；

结论

让我在这里总结通过总结我关于有效互动在数学,数学家和数学教

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