关于矩阵逆特征值问题

作者：Xingzhi Ji

国籍：加拿大

出处：《Inverse Problems》 1998,14(2)-275～283

中文译文：

摘要：本文讨论了矩阵特征值逆问题：给定矩阵，找到标量，使得

具有规定的特征值.证明了该问题等价于相关矩阵束的联合特征对问题,进一步给出了该问题具有解的条件.并且提出了一种求解矩阵束联合特征值问题的方法，进而给出了该问题的所有解.

1.介绍

给定矩阵和标量，本文的目的是讨论以下逆特征值问题：求使是以下矩阵的特征值

（1.1）

上述逆特征值问题是非常一般的，许多我们熟知的矩阵特征值逆问题都是这个问题的特例.下面我们举几个例子，为了简单起见，我们用表示元素为1并且其他元素都为0的维的矩阵.如果没有出现混淆，我们省略下标m.

(1)加法逆特征值问题.给定矩阵，求对角矩阵= diag{}使得有特征值.显然，这个问题是形式

的一类问题.

(2)乘法逆特征值问题.求对角矩阵= diag{}，使得有特征值，且.这个问题可以用上述格式转换为

(3)Jacobi矩阵的重构.矩阵

有特征值,并且它的维主子矩阵有特征根，此时.在形式中，希望求得和，使得矩阵

有特征根.同样，利用光谱数据[2,4]构造带矩阵的逆问题也可以用同样的方法转化为（1.1）的格式.

(4)逆Toeplitz特征问题.Toeplitz矩阵，有性质.逆Toeplitz特征问题给定n个实数集合作为特征根.通过，，hellip;，问题变成求,使得有特征根.

逆问题（1.1）的解比较复杂，一般有种解，但在一定条件下，它可能有无穷个解，甚至于没有解.对于实对称矩阵问题的数值求解，文献[3,9,15]中给出了牛顿型迭代法，除了没有全局收敛性的保证外，牛顿型迭代的方法往往很难得到整体解或某些具体解.本文的主要思想是将逆问题（1.1）处理为如下所谓的多参数特征值问题，

（1.2）

当非平凡向量，；，，，例如(1.1).我们称和为问题(1.2)的特征值及对应的特征向量，这里代表张量积.不难看出问题(1.1)的解是问题(1.2)的特征值，反之亦然.在此角度而言，逆问题(1.1)等价于多参数特征值问题(1.2).

问题(1.2)提供了研究逆问题(1.1)的另一种方法.实际上，在第2节中我们将证明问题(1.2)可以进一步转化为以下矩阵束的联合特征值问题：

(1.3)

此时和是和的kronecker乘积，被称之为的联立或共同特征值.证明了问题(1.3)的联合特征值与问题(1.2)的特征值一致.

第2节给出了由(1.2)中的系数矩阵和生成( 1.3 )中，的一般公式.为了说明这一点，我们考虑了加性逆特征值问题的一个小数值例子.鉴于矩阵和两个特征值1与-1，求一个对角矩阵使得的特征值为1和-1.这个问题可以写成(1.2)的形式

(1.4)

此时，，，.要将(1.4)式转化为(1.3)式中的联合特征值问题，需要计算算子值行列式和如下(详见第2节)：

因此，对应的联合特征值问题为

由于问题(1.3)是一个普通特征值问题，可以使用许多方法,第三节讨论了(1.3)具有解的几个充分条件,第4节给出了(1.3)的(如果有)所有解的求解方法.反过来，这给出了(1.1)逆问题的所有解.

2.两类问题的等价性

为了推进我们的论证，我们引入了如下的注释和概念:

设表示复有限维Hilbert空间，令是上的线性算子，.介绍张量积空间，表示诱导的.对于可分解张量，，然后将线性拓展到上，我们定义影响因素：

(2.1)

在这里，插入符号(circ;)表示省略，右边按行列式的通常方式展开，项的乘积被解释为有关运算的组合.我们进一步写到

为在中的余子式.根据([1, ch 6])我们认定

(2.2)

(2.3)

(2.4)

现在让我们考虑下面的多参数特征值问题

(2.5)

当定义如上，和是特征值和特征向量. Atkinson证明了以下几点(详见[1，第6章]).

定理1（Atkinson 1972 [1]） 如果存在标量使得是非奇异的(这个条件称为确定性条件)，那么对于问题( 2.5 )的特征值，我们有

(2.6)

除比例因子外，(2.5)的特征值同时也是的特征值，另外，为可交换算子.

现在我们可以证明问题(1.1)和(1.3)的等价性，为了方便起见，我们引入了算子值行列式，对应于(1.2)如下

(2.7)

其中，由诱导，是由所致的.符号(circ;)表示省略，行列式展开方式与(2.1)相同.值得注意的是这些行列式通常是稀疏的和奇异的，因此定理1中的确定性条件不成立，特别是在(1,2)中的系数必须是非零的.

定理2 逆特征值问题( 1.1 )的解与下列问题的联合特征值一致

(2.8)

此时，由(2.7)定义.

为了证明这个定理，我们需要下列引理.

设 ，是可逆的}.设.

引理1 给定与，这里.

对于任意的，存在：

(1)；

(2)存在，满足和.

换句话说，具有上述性质的在中是稠密的.

证明 如果有，则取.

如有，则存在矩阵

（Jordan标准型）

这里.

引入标量如下

现在，由于，是非奇异的.所以和

(1)；

(2).

定理的证明2 注意解的(1.1)与问题(1.2)的特征值重合，足以证明(1.2)与(2.8)等价.

lArr;如果是可逆的，结论来自Atkinson的结果.当奇异时，我们假设是(2.8)的极限解，并考虑扰动问题

(2.9)

其中为扰动矩阵，由通过小解析扰动得到，由得到，注意,是的多项式，取 ，当，则且具有引理1中所述的性质，那么(2.9)的解与联合特征值问题的解一致

(2.10)

现在在(2.10)中让，依据引理1我们有:.因此(2.10)变成

(2.11)

对于(2.9)我们有.由于.换而言之，是(1.2)的特征值，因此，存在特征向量使得

(2.12)

也就是说，是(1.2)的解.

假设满足式(1.2)，其中.然后

(2.13)

其中定义在(2.7)中.将算子乘入(2.13)求和，得到

或者

通过等式(2.2)-(2.4)，我们有

3.关于逆问题(1.1)的一些结论

在这一节中，我们从问题(1.3)中得到问题(1.1)具有解的一些充分或必要条件.设如(1.1)所示，和根据(2.7)由构成.我们从(1.1)解的个数的

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