论文总字数：5130字

摘 要

关键词:拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,泰勒公式,等式

Abstract: This paper discusses the differential mean value theorem in four basic theorems proved in equalities proving, inequalities proving, the limit of function calculation, the existence of the root, monotonic of function, approximate calculation and other aspects.

Keywords: Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem, Formula of Taylor, Equality

目 录

1 引言 4

2 微分中值定理的内容 4

3 微分中值定理的若干应用 5

3.1 在证明等式中的应用 5

3.2 证明不等式 9

3.3 应用拉格朗日中值定理、泰勒公式求极限 12

3.4 应用罗尔中值定理探究根的存在性 13

3.5 应用拉格朗日中值定理判定函数的单调性 14

3.6 用泰勒公式求近似值 15

结 论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 引言

微分中值定理中的四大基本定理,即泰勒中值定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理,是微分学中的重要组成部分.这四大基本定理在一些解题上具有重要应用.本课题就以这四个基本定理为研究内容,从而利用它们来分析微分中值定理在求极限、求近似值、探究方程的根的存在性、证明等式、证明不等式这几个方面的若干应用.

2 微分中值定理的内容

本文以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒在中值定理的基础为研究对象,这三个本文以罗尔中值定理定理的具体内容如下

罗尔中值定理 若函数满足如下条件

1)在闭区间上连续;

2)在开区间内可导;

3);

则在内至少存在一点使得

拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件

1)在闭区间上连续;

2)在开区间内可导;

则在内至少存在一点使得.

很明显,尤其是当时,本定理即可看作为罗尔中值定理.

柯西中值定理 设函数和满足如下条件

1)在上都连续;

2)在内都可导;

3)和不同时为零;

4);

则存在,使得.

泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则对任一,有

,

其中.这里是介于和之间的某个值.

3 微分中值定理的若干应用

在解决一些微分学的问题中,微分中值定理具有较为普遍的应用.下面我们将举例说明这些定理在等式证明、不等式证明、计算函数极限、探究方程的根的存在性、研究函数的单调性、近似计算这几个方面的若干应用.

3.1 在证明等式中的应用

在微分中值定理用来证明等式中,我们不仅可以通过构造辅助函数的方法来加以证明,也可以直接运用微分中值定理来证明.其中,罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理都可以用来证明等式.下面,我们给出这些定理在例题中的应用.

例1 设在上连续,并在内可微,且满足.若是任意自然数,证明存在一点,使得.

证明 令函数

,由,

且满足罗尔中值定理的条件,从而存在一点,使得

.

即

,

整理后得

,

于是结论得证.

例2 设函数在上可导,且,.证明:在上存在两点,,使.

证明 由于在上连续,且,,于是由介值定理可知在内存在使,又因为在内可导,故对在与上分别应用拉格朗日定理得

,,

,,

所以

=

=

=

=2,

即

,,.

例3 设,证明存在,使得.

证明 由,令,,从而,在上满足柯西中值定理的条件,应用柯西中值定理,则存在,使得

,

带入后得

,

化简整理,从而得

,

故结论得证.

例4 设在上三阶可导,证明存在,使得

.

证明 由题意,构造函数,,则,在闭区间上满足柯西中值定理,可知存在一点,使得

,

因为

,,

则有

,,

又因为

,,

从而有

,

又因为,在闭区间上仍然满足柯西中值定理的条件,所以存在,其中

,使得.而

,,

从而有

,

即

,

得证.

例5 设函数在上具有2阶连续导数,证明:存在一点,使得

.

证明 作辅助函数,用泰勒定理将在处展开,有

,

其中,,.

于是

,(1)

,(2)

其中,.由连续,知存在,使得
,

用(1)式减(2)式,得

.

3.2 证明不等式

我们可以通过用柯西中值定理或者泰勒中值定理来证明不等式.在证明过程中,我们要善于发现题目所给条件或者隐含条件与基本定理之间的关系,从而灵活运用、转化,最后再根据相应的定理来证明.

例6 当时,证明.

证明 设,在闭区间内连续,在开区间上可导(其中).应用拉格朗日中值定理,从而存在一点,其中,使得

,

即

,,

由于在闭区间内有

,

故

,

又,于是

.

得证.

例7 为上的二阶连续可导函数,其中,并存在一点,使得,试证至少存在一点,使.

证明 在闭区间上满足拉格朗日中值定理,则存在,使

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