论文总字数：6043字

摘 要

：极限是研究函数的主要工具，也是研究微积分学的重要工具，极限的计算是学习数学必须掌握的方法. 因而熟练地掌握极限的计算方法显得尤为重要.本文探讨了函数极限计算的若干方法,为极限计算问题提供参考.

关键词： 极限，夹逼定理，洛必达法则，泰勒公式

Abstract：The limit is the main tool in the study of function, and it is an important tool to study calculus, The method of limit calculation must be mastered to learning mathematics. Therefore, it is important that skillfully mastering the limit’s methods . This paper discusses several methods of computing functional limit, providing the reference for the limit calculation problems.

Keywords: limit, theorem of clamp approximation, l’hospital rule,taylor formula

目录

1 引言 4

2 函数极限的定义性质及作用 4

2.1函数极限的概念 4

2.2函数极限具有的性质 5

3 函数极限的计算 5

3.1利用夹逼定理计算极限 5

3.2利用两个重要极限计算极限 6

3.3利用无穷小的性质和等价无穷小代换计算极限 7

3.4利用洛必达法则计算极限 8

3.5利用定积分的定义计算极限 9

3.6利用泰勒公式(或麦克劳林公式)计算极限 11

3.7利用导数的定义计算极限 13

3.8利用定理的推广定理计算极限 14

结论 16

参考文献 17

致谢 18

1 引言

极限是数学分析重要的内容之一，也是高等数学中最基本的知识，掌握就极限的运算方法与技巧非常重要，本文主要探讨了求极限的若干方法，包括我们常用的夹逼准则，洛必达法则，两个重要极限，利用等价无穷小的性质及等价无穷小替换等，同时也介绍了一些如利用泰勒公式，定积分，定理的推广定理等特殊的求极限的方法.

2 函数极限的定义性质及作用

2.1函数极限的概念

定义1 设为定义在上的函数，为定数，若对任给的 ，存在正数，使得当时有

则称函数当趋于时以为极限，记作

或.

定义2（函数极限的定义）设函数在点的某个空心领域内有定义，为实数.若对任给的，存在正数，使得当时有

，

则称函数当趋于时以为极限，记作或.

定义3 设函数在（或）内有定义，为定数.若对任给的，存在正数，使得当(或)时有

则称为函数当趋于(或)时的右（左）极限，记作或.

右极限与左极限统称为单侧极限.在点的右极限与左极限又分别记为与.

定理1 .

2.2函数极限具有的性质

性质1（唯一性）如果存在，则必定唯一.

性质2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界.

性质3（保序性）设.

性质4（迫敛性）设，且在某内有，则.

数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的.可以说，没有极限理论就没有微积分.

3 函数极限的计算

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对极限的计算方法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些方法.有利用夹逼性定理，两个重要极限，洛必达法则和等价无穷小的性质及等价无穷小替换等常用方法，在求的时候要重点注意运用.同时运用泰勒公式，定理的推广定理可以解决较为复杂的极限计算问题。

3.1利用夹逼定理计算极限

定理 2设 ，且在某一空心邻域内有

，

则.

夹逼定理多适用于所考虑的函数比较适度放大或缩小，而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限，基本思想是要把要求的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.

利用夹逼定理求函数极限的关键：

（1）若，，有；

（2），由此可得

或，由此可得.

例1设,求极限.

对进行适当放大和放小，使得左右极限存在且相等.

因为当时，

,

所以,

而，

由夹逼定理有.

3.2利用两个重要极限计算极限

两个重要极限：（1） ， （2）或

根据复合函数的极限运算法则，可将以上两个公式进行推广：

（1）；

（2）,

或 .

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配指数法.

例2 若.求极限

本题包含了两个重要极限，首先对其进行转化为，令，指数上利用.

则有

3.3利用无穷小的性质和等价无穷小代换计算极限

定理3 若,则称与是当时的等价无穷小量.记作

.

设函数，，在 内有定义，且有

.

（1）若 ，则 ；

（2）若，则.

性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；

性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.

在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中的乘积或商的形式才能用等价无穷小量代换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换，对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.

常用等价代换公式：当时，，，，，，，，，.

若，，当，则，，，，，，，，.

例3 若,求极限.

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