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摘 要

本文给出了范德蒙行列式的性质以及范德蒙行列式的推广形式. 着重探讨了范德蒙行列式在行列式计算、多项式理论、微积分、线性方程组、向量空间理论、多项式整除的应用. 通过典型例题阐述运用范德蒙行列式来解决问题.

关键词:范德蒙行列式，多项式，线性方程组，向量空间

Abstract：This paper gives the Vandermonde determinant of the nature and gives a generalized form Vandermonde determinant. This paper emphatically discusses the vandermonde determinant in determinant calculation, polynomial theory, calculus, equations, vector space theory, polynomial divisible applications. Through the examples in this paper, we can use vandermonde determinant to solve the problem.

Keywords：vandermonde determinant, polynomials, linear equations, vector spaces

目 录

1 引言 4

2. 范德蒙行列式 4

2.1范德蒙行列式定义 4

2.2范德蒙行列式的性质 5

3. 范德蒙行列式的推广 6

4. 范德蒙德行列式的应用 6

4.1 在计算行列式中的应用 6

4.2 在多项式理论中的应用 8

4.3 在微积分中的应用 8

4.4 在向量空间理论中的应用 10

4.5 在解元线性方程组中的应用 10

4.6 在整除中的应用 11

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 引言

行列式最早出现在线性方程组的求解问题中，时至今日，行列式理论的应用越来越广泛.范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式计算中可以把一些特殊的或者是类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式进行计算.由于范德蒙行列式有着独特的构造和优美的形式而被广大科研工作者广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.基于范德蒙行列式的结构的独特性，学习者在计算行列式是不易掌握，尤其是需要通过变换构造这一行列式来解决相关方面的问题就显得更加困难.因此，本文介绍了范德蒙行列式的推广形式，以及范德蒙行列式在行列式计算、多项式理论、微积分、方程组、向量空间理论、多项式整除六个方面来探究范德蒙行列式的应用，希望对初学者提供一定的参考.

2. 范德蒙行列式

2.1范德蒙行列式定义

形如

= （1）

的行列式，称为级的范德蒙德（）行列式。我们来证明，对任意的,级范德蒙德行列式等于，，…这个数的所有可能的差-的乘积.

用连乘号，这个结果可以简写为

=.

范德蒙德行列式为零的充分必要条件是，，…这个数中至少有两个相等.

因为，所以范德蒙德行列式还可以写成：

=.

2.2范德蒙行列式的性质

=

=

=

3. 范德蒙行列式的推广

阶范德蒙行列式为==.

广义的范德蒙行列式由中第行（）上元素换成（为整数）而得，即

.

显然，当

4. 范德蒙德行列式的应用

范德蒙德行列式常作为行列式理论的一个教学实例而出现，虽然未被明确提出和探讨研究，但由于范德蒙行列式都是一个数的不同方幂且自上而下方幂次数由0递增至这种独特的结构和优美的形式，使得范德蒙行列式在教学的各个分支都具有十分广泛的应用.下面将从计算行列式、多项式理论、微积分、解线性方程组、向量空间理论、多项式整除六个方面探讨研究范德蒙德行列式的应用.

4.1 在计算行列式中的应用

对已知题目中要求的行列式进行简单地变形、加行加列、加边拆边等方法将所求的行列式转化为范德蒙行列式，这样不仅会大大减少计算量，而且也会使得结果更加精确.

1. 计算行列式

=.

将行列式与范德蒙行列式的形式加以比较得，行序的排列正好相反，若将第

行依次与前面各行交换到第行（共交换次，）这样继续下去，共经过次后，就可以得到一个范德蒙德行列式.

=

=.

=

=.

例2 计算级行列式 .

原式记为，此行列式与范德蒙行列式类似，但缺少次幂的项，因而可用加边法添加上次幂项使新的行列式成为范德蒙行列式，然后通过比较系数来确定行列式的值.

记

这就成了标准的范德蒙行列式，利用行列式展开法则，按第5列展开，得到的展开式如下：

（其中为代数余子式）

由范德蒙行列式计算公式，得出的值为：

它和上面的展开式相等，所以要计算展开式中的的系数.

所以 .

4.2 在多项式理论中的应用

在多项式理论中往往会涉及到求根的问题，我们可以根据多项式构造出系数行列式为范德蒙行列式的线性方程组，通过计算行列式是否为零判断根的情况.

例4 设.证明：如果有个不同的根，则为零多项式，即.

由题知有个不同的根，不妨设为，其中，将其分别代入函数表达式，得个方程如下：

将看作未知量得上述方程组的系数行列式为

不难发现为阶范德蒙行列式，所以=，而，所以.由克莱默法则知，该方程组只有零解，即，因此

4.3 在微积分中的应用

例 5 确定常数当时为的5阶无穷小，并给出其等价表达式.

对的各项利用泰勒公式，有 =

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