论文总字数：5101字

摘 要

关键词: 导数，不等式，最值，泰勒公式

Abstract:In this paper, we use the relation between derivative knowledge and function monotonicity, the most value,Taylor formula,Lagrange theorem,definite integral concave ,convex function. And we will combinate with some corresponding examples to discuss the application of derivative in the inequality proof.

Keywords: derivative, inequality, the most value, Taylor formula

目 录

1 前言 4

2 导数在不等式证明中的一些应用 4

2.1利用函数的单调性证明不等式 4

2.2 利用函数的最值证明不等式 5

2.3 利用泰勒公式证明不等式 6

2.4 利用拉格朗日中值定理证明不等式 7

2.5 利用导数与积分的结合证明不等式 8

2.6利用函数的凹凸性证明不等式 9

结论 11

参考文献 12

致谢 13

1 前言

在我们的数学学习中，不等式的证明无处不见，而我们用于不等式证明的方法也在逐步积累，这些证明方法也逐步得到多样化.导数的应用和微分中值定理是导数知识中的重要内容.导数的应用主要包括：利用导数判断函数的最值、凸性、单调性、泰勒公式，而微分中值定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.我们可以根据数学分析中的内容把它们和要证明的不等式有机结合起来，寻找证明中的有效途径.本文将通过这些知识并结合其相对应的一些例题，系统地突出导数在不等式证明中的重要地位.

2 导数在不等式证明中的一些应用

2.1利用函数的单调性证明不等式

在数学学习中，很多问题都可以用函数的思想来解决，而我们今天所要着重研究的不等式问题也同样可以用函数的思想来解决，为达到简化不等式的目的我们可以把不等式转化为函数，在转化后的函数的基础上，我们可以利用函数的单调性证明要证的不等式.此时，我们可以先判断出函数的单调性，最后利用函数单调性的结论或性质证明不等式，从而使不等式得证.

定理 设函数在区间上可导，那么在上递增（或递减）的充分必要条件是在区间内成立.

解决此类问题时，要先构造辅助函数，把证明不等式转化为证明函数的单调性，由此得证.

用单调性证明不等式的一般步骤如下：

1. 选取适当的函数，确定函数自变量所在的区间，
2. 求，确定在区间上的单调性，
3. 根据在区间上的单调性，完成目标不等式的证明.

例1 证明:当时,有

为证明此题可将不等式转化为函数，在转化后的函数的基础上，利用导数知识来判断函数的单调性，进而证明要证的不等式.为达到把不等式转化为函数的目的.此题可将不等式变形为. 通过观察发现，不等式右端只是将左端的变为，进而易想到构造这样的函数.那么此题就转化为证明.

因为，要证就是要证明在定义区间上为严格单调递减函数.

而.

因为 故.

所以 .

因而在内恒有,

所以在区间内严格递减.

又因为,可知.

即.

所以

2.2 利用函数的最值证明不等式

如果是函数在某区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式（或），只要求函数的最大值不超过0（或最小值不少于0），就可得证.

例2 证明：当时，.

为了利用函数最值来证明此题，不妨将不等式的右边变形为.构造函数.那么要证明.即证明在区间上的最大值都小于等于0. 而函数的最值问题又可以通过导数来判断.

，则..

当时，，当时，.

从而在处取得最大值，有，又因为.

所以 .不等式右边得证.

同样的道理，对于不等式的左边，可将不等式变形为.

构造函数，此时不等式证明将转化为证明在上的

最小值都大于等于0.而函数的最值问题又可以通过导数来判断.

则＝．

当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

因而当时，≥，即 ≥0.

所以 ．不等式右边得证.

综上可知，当时，有．

2.3 利用泰勒公式证明不等式

对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构成一个次多项式

，

称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式，的各项系数称为泰勒系数.

定理3 若函数在上存在存在直至阶的连续导数，在内存在导函

数，则对任意给定的,,至少存在一点，使得

，

在上述公式中若或,则可得

或

用泰勒公式证明不等式,首先构造找函数,然后选取适当的点（一般情况下取），并在处展开,最后判断泰勒展开式中余项的正负,从而证明不等式.

例3 设函数二次可微，，且，证明.

因在上连续，故有最大值.设是函数在上的最大值点，则，且.由Farmat定理，有

在点处将按Taylor公式展开，得

，

.

故

.

当时，；当时，. 综上，.证毕.

2.4 利用拉格朗日中值定理证明不等式

定理2.4 （Lagrange中值定理）若函数满足如下条件：

（1）在闭区间上连续,

（2）内可导，

则在内至少存在一点，使得

.

Lagrange公式还有以下几种形式供我们在不同场合选用：

； （1）

； （2）

； （3）

值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数.而（2）、（3）两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论，为何值， 总可为小于1的某一正数.

例4 证明对一切成立不等式

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