论文总字数：6063字

摘 要

关键词：变指数，椭圆型方程，三解定理

Abstract: Based on three critical points theorem given by Ricceri, this paper can prove the existence and multiplicity of the weak solutions to a class quasilinear elliptic equation which involves p(x),q(x)-Laplacian operations.

Key words: Variable exponent, Elliptic equations, A three critical points theorem

目录

1 前言…………………………………………………………………………… 3

2 预备知识……………………………………………………………………… 6

3 三解的存在性…………………………………………………………………10

4 结论……………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………18

1 前言

现代科学技术的发展很大程度依赖于物理、化学、生物学及工程技术等成就和进展，而这些学科自身的精确化，则是取得进展的重要保证。在精确化过程中提出了大量的非线性问题，许多是非线性偏微分方程（组），这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用，同时也对数学自身的发展有重要的影响。国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，许多是拟线性偏微分方程。例如，在非牛顿流体力学和相变理论中提出的非线性本构方程即非牛顿渗流方程（组）为拟线性抛物型方程，稳态非牛顿渗流方程（组）为拟线性椭圆型方程（组）。在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的及其丰富的规律和现象来指导实践。

本文中我们将考虑以下椭圆型问题：

其中是一个具有边界的有界域,实数

是算子,且满足：

定义;

是一个函数,对,有.

其中,常数

是的共轭函数,即有.

如果,方程变形为：

这类方程来源于典型的反应扩散方程

其中,. 此类问题在物理和相关学科像生物物理,等离子物理, 化学反应等学科有广泛应用。在这些应用中,函数描述了一个集中,在(1.3)右边第一项相应于扩散系数,而第二项是关于吸收和扩散过程的反应项。典型的,在化学和生物应用中,反应项是的多项式。许多作者研究了问题(1.3)的静态解,也就是下面方程：

.

其中,取各类不同的函数.利用的三解定理,Yin和Wen证明了条件下三个解的存在性,具体来说就是研究了下列问题：

其中,是一个以为界的有界域,实数.为连续函数.是Carathodory函数. 利用的三解定理,作者得到了问题的三个弱解的存在性.

对于特殊情况变成了典型的问题.

在问题（1.1）中，当,方程是一个问题,即：

它来源于非线性弹性理论、电流变体论等,参.关于非标准-增长条件的变分问题的研究是一个新颖而有趣的课题.利用的变分原理,中研究了当时，方程三个弱解存在性的问题；Shi和Ding中研究了条件下三解的存在性；Yin研究了方程并中得到类似的结果.

中,作者探究了如下问题：

这里是有界的且有光滑边界的领域,是一个实数,是在上的连续函数,,我们用表示的单位外法向向量。作者利用三解定理证明了问题的三解的存在性.

本文的目的是为了统一和推中的主要结论并将它们拓展到更一般的情况.我们也采用的三解定理来得到方程的多解性.即如下定理：

定理A：设X是一个自反的巴拿赫空间,区间；是一个序列弱下半连续的函数,且在的每个有限子集中有界,导数连续逆为；R是有紧Gteaux导数的泛函.

假设：

对：

使：

.

存在一个非空开集,一个正实数满足以下性质：

,泛函：,对,等式：

有至少三个小于的解.

的结论,我们给出一个与定理A等价的定理：

定理B：设一个自反的巴拿赫空间,区间IR；是一个序列弱下半连续的函数,且在的每个有限子集中有界,导数连续逆为；R是有紧Gteaux导数的泛函.

假设：

对

；

存在非空集合,正实数满足以下性质：对任意的和紧导数泛函J：X,存在,对任意的,以下方程：

在中至少有三个小于的解.

2 预备知识

为了研究此类变指数问题,我们需要一些关于空间和的性质以及的相关内容（）.

对,定义：

中定义一个范数为：

那么即为巴拿赫空间，称为变指数Lebesgue空间.

空间定义为：

,定义范数：

由可知是自反可分离的凸巴拿赫空间.

我们给出如下命题：

命题2.1.（见）是的共轭空间.对任意的和,

有：

命题2.2.（见）定义,则对任意的,有

当满足,定义：

其上范数定义为：

则是巴拿赫空间.对任意的,定义：

容易发现，在中等价于,以后将在中用替代.

由命题2.2有下列不等式：

命题2.3.（见）假设的边界具有锥属性,.如果且对任意的,

则存在一个紧嵌入.

命题2.4.（见）若是一个有界域,当时，嵌入是紧的,且存在一个依赖于的正常数,使得对于任意的

从现在开始,定义为空间,

对任意的, 定义：

定义

则对任意的,

定义：

且

则对任意的:

若对任意的，有：

成立，则称是方程的一个弱解.

下面我们运用定理或定理得到方程弱解的存在性和多解性.

3 三解的存在性

首先给出下列结论：

引理3.1.若如中定义的,则存在且连续.

证明：首先,一致单调.事实上,对任意的,有下列不等式（见）：

所以有

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