论文总字数：7263字

摘 要

关键词：变指数，椭圆型方程组，三解定理

Abstract:In this paper,we obtain the existence and multiplicity of weak solutions for a class Quasilinear elliptic systems involving (p(x),q(x))-Laplacian operations,the main tool is three critical points theorem given by Ricceri.

Keywords:Variable index，Elliptic systems，Three critical points theorem

目录

1 前言……………………………………………………………………………3

2 预备知识………………………………………………………………………5

3 定理证明………………………………………………………………………8

4 结论……………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………18

1 前言

现代科学技术的发展很大程度依赖于物理、化学、生物学及工程技术等成就和进展，而这些学科自身的精确化，则是取得进展的重要保证。在精确化过程中提出了大量的非线性问题，许多是非线性偏微分方程（组），这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用，同时也对数学自身的发展有重要的影响。国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，许多是拟线性偏微分方程。例如，在非牛顿流体力学和相变理论中提出的非线性本构方程即非牛顿渗流方程（组）为拟线性抛物型方程，稳态非牛顿渗流方程（组）为拟线性椭圆型方程（组）。在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的及其丰富的规律和现象来指导实践。

最近，以Ricceri中的三解定理为基础，得到了关于方程多解性的一系列结果。如在文中Bonanno利用三解定理得到了下面两点边界值问题的三个解的存在性，

这里是一个正参数，是一个连续函数。

在文中，Candito将文的主要结果推广到非自治的情况，

这里是一个参数，是一个连续函数。

在文中，Ricceri的三解定理已被应用于P-Laplacian型方程问题的多解性。在文中，他和Ge将的主要结果推广到了拟线性微分方程，即

在中,作者考虑了如下的问题：

(1.1)

这里是的非空有界开集，是连续函数，其中称为算子。作者证明了存在一个开区间和一个正实数，那么对任何，问题(1.1)在中至少存在三个范数小于的解。

在文中，作者考虑了如下类型的问题：

(1.2)

这里是有界的且边界光滑的区域，是一个实数，是在上的连续函数，，我们用表示的外向单位法向向量。其中算子称为算子。作者在一定条件下利用Ricceri三解定理证明了(1.2)三个弱解的存在性。

在文中，作者考虑了如下类型的问题：

(1.3)

这里是边界属于的有界区域，是实数，，。相应的方程称为变指数方程。作者在一定的条件下利用Ricceri三解定理证明了(1.3)三个弱解的存在性

在文中，作者考虑了如下的问题：

(1.4)

作者在一定条件下利用Ricceri三解定理证明了(1.4)三个弱解的存在性。

在文中，作者考虑了如下的问题：

(1.5)

利用Ricceri三解定理作者同样证明了(1.5)三个弱解的存在性。

本文考虑如下类型问题：

(1.6)

这里，是是一个函数，满足对所有,在上是可测的，对所有，在上是的,表示关于的偏导数，，且

2 预备知识

我们列出一些本文所需的定义和基本性质，介绍有关Lebesgue-Sobolev空间的一些结论，这里是的一个开子集，先介绍下面的一些符号。

设

对任意我们定义

对任意，我们定义：

.

中定义一个范数为：

则为巴氏空间，称为变指数Lebesgue空间.

空间定义为：

,

对任意的定义范数

由文可知是自反可分离的凸巴氏空间.

我们给出如下命题

命题1.(见文)是的共轭空间.对任意的和，有

成立。

命题2.(见文)定义,则对任意的,有

成立。

在上，我们考虑如下等价范数

或

设

对所有以下关系式成立

我们知道，若李普希兹连续，，对任意且满足，存在一个连续嵌入，若对任意，，由文中的定理2.2我们得到，是连续嵌入的。由于得到是完全嵌入，因此我们得到是连续嵌入的。

现在，设=对任意，定义

这里

在空间上，我们定义范数。当，由上述可知是完全嵌入的，因此存在

. (2.1)

设，若对任意，有

(2.2)

成立，则称为方程组(1.6)的一个弱解。

记

= (2.3)

我们的主要结果是下面的定理。

定理1假设存在正常数且使得

对所有 有 ；

；

对所有有，

，其中，；

任意，.

则存在一个开区间，一个正实数，满足对任意，问题(1.6)在中至少有三个范数小于的弱解。

3 定理证明

我们证明定理1的主要方法也是利用Ricceri的三解定理，即

定理A 设是一个可分自反实巴氏空间。一个连续G可导且弱下半连续泛函，且在上G导数连续可逆，是连续G可微函数，且G导数是紧的。假设：

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