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摘 要

：在历年高考中，不等式证明是一个非常重要的内容。因为它有许多证明方法,而且证明方法不是一成不变的。我们经常用到的有比较法、分析法、综合法、数学归纳法、函数法等等。学习这些方法，我们能轻松地解决一些实际问题。

关键词：比较法、反证法、数学归纳法

Abstract: Over the years in the college entrance examination, the proof of inequality is a very important content. Because it has many methods, and the method of proof is not rigid. We often use in comparative law, analysis, synthesis, mathematical induction, function, and so on. Learn these methods, we can solve some practical problems easily.

Key words: comparative law; proofs by contradiction; mathematical induction

目录

1 前言 5

2常用方法 5

2.1比较法 5

2.2分析法 6

2.3综合法 7

2.4反证法 7

2.5放缩法 8

2.6数学归纳法 9

2.7换元法 10

2.8利用柯西不等式 11

2.9函数法 11

2.10均值不等式 12

3小结 14

参考文献 15

致谢 16

1前言

在高中数学的学习过程中，我们会发现不等式证明是一个非常重要的知识点。这是因为它的证明方法是多种多样的。例如比较法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、换元法、利用柯西不等式、函数法等，这些方法都是解决不等式证明的常规方法。证明不等式的最常用到的方法之一是比较法。如通过2个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法。当然，数学归纳法在高中数学中也占据着非常有重要的地位。怎样利用数学归纳法去解决不等式的证明呢？我们在运用数学归纳法的时候，必须要思路清晰，要有主要的递推的过程，还要善于利用假设的结论，最后要写清楚要证的结论。当然，我们还会用到反证法。对于反正法而言，它首先要假设结论不成立，然后一步一步逆推（推导的过程是可逆的），推导结果与已知相矛盾则假设不成立，最后结论成立。还有许多方法我就不一一的说了，在接下来的正文中你会看到。

2 常用方法

2.1比较法

证明不等式的最常用到的方法之一是比较法。比较法是通过2个实数和的差或者商的符号（范围）来去确定和大小关系的方法，即是通过“,,”来判别与的大小。

例1当时，求证: .

分析：要使得左边大于右边，我们通常把两边相减，看它们的差是否大有零。有时候我们还会用到作商，两边相除，看结果是否大于或者小于1。

证:

=

=

=

又因为，所以.

故.

这道题就是利用2个式子的差是否大于零，来判断2个式子的大小的。像这类题目，我们还会到作商，看结果是否大于或者小于1。（如是同号的情况下）.

2.2分析法

分析法是一种十分便捷的工具。它的证明思路：第一步，从未知；第二步，看到需知，逐步靠近已知即“执果索因”。当然，它的每一步都是可以逆推的，从果到因，一步一步推导，也是逆推法。在时间紧迫的考试中，分析法是非常高效的。

例2已知： ，求证：.

证：要证，

只需证

即证

即证

因为

故只需证

即证明，显然成立。

故。

例3已知：，求证：.

证：想要证，

因为，

只需证

即要证，

即证，

因为成立，

故

原命题成立.

我认为在运用分析法时，要有你逆推的思想，要有清晰的条理，这样就可以迅速找出突破点，从而具有针对性，能够较快地探明解题的思路和解题的途径。在时间紧迫的考试中，分析法能够大量的节约我们的时间，为我们争取更过的时间去解答其他题目。

2.3综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种方法通常叫做综合法。它通常的证明的思路是“由因到果”,从不等式出发，经过一系列的变换，最终得到想要的证明结论。

例4已知是不全相等的正数，求证：.

证：由题意知，是不全相等的正数，

又因为，，，

所以，，.

故.

则原命题得证.

题目的形式是多种多样的，我们需要掌握正确的方法，在适当的时候，选择最恰当的解题工具。在做这种类型的题目时，通常会用分析法去寻找出解题的思路，有时会将不等式进行适当的变形，转化为比较容易证明的不等式.。

2.4反证法

许多的论证方法中，有一种论证方式是反证法。首先是假设原命题是不成立的（即在原命题的条件下，结论是不成立的），然后推理出矛盾的结果，接着下结论说原假设是不成立，最后得到原命题成立。

反证法证明的步骤:

第一，是作与原命题相反的假设；

第二，是将假设作为条件，并通过一系列推理导出矛盾；

第三，是说明假设不成立，从而肯定原命题成立。

例5已知，且，求证：， 中至少有一个不小于2.

分析：通常情况下，我们在看“不大于”“不小于”“至少”等字眼的时候都会想到用反正法，对于此题我们一般会假设，都不小于2，然后逆推，推出一个与已知相矛盾的结论，那么假设不成立，最后就会得到的我们想要的结论。

证：假设，都不小于2，

即，.

由于，则，，

故，即.

这与已知条件相矛盾则假设不成立，

故，中至少有一个小于2.

其实 ，很多题目都可以用反证法来证明，有些复杂的证明题，如果想到用反证法就会很容易的解决了。

2.5放缩法

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