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摘 要

单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中具有广泛的应用性,包括求解及证明数列与函数收敛性的相关问题，证明实数完备性中其他几大定理．本文主要概括介绍了单调有界定理在以上几个方面的应用，同时通过几个例题来加深、巩固对单调有界定理的理解．

关键词: 单调有界定理，数列极限，函数极限，实数完备性

Abstract: Monotonous bounded theory is an important theorem in Limit Theory. It has a wide range of application in mathematical analysis, including solving and proving issues related to the number of columns and convergence of the function, proving several other theorems in real proof of completeness. In this paper, we mainly study some application in the above aspects, simultaneously we use several examples to deepen and consolidate our understanding of monotones bounded theory.

Keywords: Monotone bounded theorem,The limit of sequence,Function limits,Completeness of real numbers.

目 录

1 引言……………………………………………………………………………3

2 单调有界定理及其证明………………………………………………………3

3 单调有界定理的应用…………………………………………………………4

3.1 单调有界定理在数列极限方面的应用……………………………………4

3.1.1 单调有界定理在求解某些具体数列极限方面的应用…………………4

3.1.2 单调有界定理在求解迭代序列极限问题方面的应用…………………5

3.2 单调有界定理在函数极限方面的应用……………………………………6

4 用单调有界定理来证明实数完备性定理……………………………………8

4.1 用单调有界定理来证明区间套定理………………………………………8

4.2 用单调有界定理来证明柯西收敛准则……………………………………8

4.3 用单调有定理证明有限覆盖定理…………………………………………9

4.4 用单调有界定理证明聚点定理…………………………………………10

4.5 用单调有界定理证明确界存在原理……………………………………10

参考文献…………………………………………………………………………12致谢………………………………………………………………………………13

1 引言

Newton ，Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积分理论产生过怀疑，直到Cauchy ，Weierstrass 建立了极限论的严格基础，人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建立．作为极限论的出发点，实数的完备性即实数的连续性，在数学分析课程中占有重要的地位．实数的完备性的基本定理包含：确界存在定理，单调有界定理，闭区间套定理，Weierstrass 聚点定理，Cauchy 收敛原理和有限覆盖定理,这些定理是等价的^[1-7]．其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论．因此单调有界定理作为实数系基本定理七大定理中的一个，在整个微积分理论中具有着不可小觑的作用．故本文将尝试从单调有界定理出发，研究和总结其在数学分析中的一些具体应用．以更直观地领会单调有界定理在微积分理论中的重要地位．本文主要介绍了单调有界定理在数列极限、函数极限方面的一些应用，并且简单地介绍一下单调有界定理对于实数集完备性基本定理中其他几大定理的证明．

1. 单调有界定理及其证明

定理1 (单调有界定理)^[1] 在实数系中，有界的单调数列必有极限．

证明 不妨设为有上界的递增数列．由确界原理，数列有上确界，记．下面证明就是的极限．事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得．又由的递增性，当时有

．

另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有．所以当时有

，

这就证得．同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界．

在定理1的证明过程中，可以发现对定理1的条件作出更为精确地描述．即对于单调递增数列，只需要求其有上界即可；同样的对于单调递减数列，只需要求其有下界即可．因此，容易得出以下两个定理．

定理2 在实数系中，有上界的单调递增数列必有极限．

定理3 在实数系中，有下界的单调递减数列必有极限．

注 以上的两个结论都可从定理1的证明中容易得出．

3 单调有界定理的应用

3.1 单调有界定理在数列极限方面的应用

3.1.1 单调有界定理在求解某些具体数列极限方面的应用

例1 判断序列的收敛性，若收敛，求．

分析 因为题目所求为数列收敛问题且给出了具体表达式．因此可以尝试比较数列前后两项大小关系，判断其单调性；想方设法地找出数列的界值．进而可以用单调有界定理来判断其收敛性．

解 令，则有

，

故有

．

这就证明了为单调递减数列．又有

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