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摘 要

关键词：无穷积分，反常积分，收敛

Abstract: Improper integrals as a promotion of definite integral has a relatively wide range of applications in advanced mathematics. This paper presents the natures of the two types improper integrals and convergence criterion method, and discuss several methods for calculating improper integrals.

Keywords: Infinite integral, Improper integral, Convergence

目录

1前言…………………………………………………………………………3

2反常积分定义………………………………………………………………4

3无穷积分……………………………………………………………………5

3. 1无穷积分的性质……………………………………………………5

3. 2判别法…………………………………………………………………6

4 瑕积分 ………………………………………………………………8

4. 1瑕积分的性质…………………………………………………………8

4. 2 判别法 …………………………………………………………………9

5反常积分的计算方法 ………………………………………………………10

5．1利用定义计算反常积分…………………………………………………10

5. 2利用换元法计算反常积分………………………………………………11

5. 3利用分部积分法计算反常积分…………………………………………11

5．4利用重要极限计算反常积分……………………………………………12

结论………………………………………………………………………14

参考文献………………………………………………………………………15

致谢…………………………………………………………………………16

1. 前言

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。例如用求和的方法计算抛物线弓形及其他图形的面积，又如我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。显然定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在很多实际问题中往往需要突破这个约束，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本文讨论的无穷积分和瑕积分。下面给出两个实例：

引例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？

解： 设地球半径为，火箭质量为地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为

，

于是火箭上升到距地心处需要做到功为

,

当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功

，

再由能量守恒定律，可求得处速度至少应使

，

引例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把

O

xO

h

桶里水全部放完？

解：由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），

桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为

，

设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，

则有下面关系：

，

由此得

，

所以流完一桶水所需的时间应为

，

但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取

.

相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。本文主要研究它的收敛问题和计算方法。

1. 反常积分的概念

在本节中，我们给出反常积分的一些概念。

定义1 设函数f定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积，如果存在极限

， （1）

则称此极限J为函数f在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）.记作

.

并称收敛，如果极限（1）不存在，亦称发散。

对于f在 的无穷积分可以用前面两种无穷积分来定义： ，

其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的，注意：的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关。关于无穷限的反常积分还有其他定义方式，参见文献[4].

定义2 设函数f定义在区间上，在点a的任一右邻域内无界，但在任何内闭

间上有界且可积，如果存在极限

， （2）

则称此极限为无界函数f在上的反常积分，记作

,

并称反常积分收敛，如果极限（2）不存在，也称反常积分发散

在定义2中，a称为f的瑕点，而无界函数反常积分又称为瑕积分，函数f在点a的右邻域无界的意思是：.注意 :函数f(x)在点a没有定义，但函数在a的右极限可以存在，这时a不是被积函数f（x）的瑕点。例如：函数在点0处没有定义，但，所以x=0不是积分 的瑕点，不是反常积分。

3.无穷积分的收敛判别

3.1 无穷积分的性质

由定义1知道，无穷积分是否收敛取决于函数在 时是否存在极限.由文献[1],我们给出下面一些性质.

引理1 无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在Ga ，只要，便有

.

性质1.若 与都收敛，是任意常数，则也收敛，且

.

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