论文总字数：6107字

摘 要

关键词：等差数列，等比数列，递推关系，通项公式

Abstract: The progression is very important in high school mathematics. The key question to solve progression is general formula number. In this paper,we summaries some approaches about general term formula and the application of specific topics.

Keywords: arithmetic progression, geometric progression, recurrence relations, general

term formula

目 录

1 引言4

2 数列 4

2.1 数列的基本概念 4

2.2 数列的基本定义 4

3数列通项公式的几种常见求法 4

3.1 观察法4

3.2 公式法5

3.3 累加法6

3.4 邻差法6

3.5 累乘法7

3.6 构造法7

3.7 数学归纳法10

4 数列通项公式的几种特殊求法11

4.1 特征根法11

4.2 不动点法12

4.3 母函数法14

结 论16参 考 文 献17

致 谢18

1 引言

数列在高中数学中占有极其重要的地位，而求数列的通项公式是解决数列问题的基础.在目前遇到的高考题中，我们可以通过不同的方法求解有关的数列问题.其中有些较为常见的方法，例如公式法、累加法、累乘法等.还有一些不常见的特殊求法，例如不动点法、母函数法等。通过这些方法我们可以在不同的题型中迅速找到对应的方法，使解题变得简单方便.

2 数列

2.1 数列的基本概念

按照一定次序排列的一列数称为数列.数列的一般形式可以写成,…记做；等差数列：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项差为同一个常数，这个数列叫做等差数列 ，这个常数叫做等差数列的公差，用字母表示.等比数列：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比为同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母表示.

2.2 数列的基本定义

等差数列

通项公式：,

前项和的公式：

等比数列

通项公式：，

前项和的公式：

3数列通项公式的几种常见求法

3.1 观察法

当题目给出一组数据时，通过观测发现这组数列各项之间的特征，与常见的数列形式相联系进行变形，找出各项之间变化的规律，从而找出各项与项数之间的关系得到通项公式.

例1 根据给定的数列，写出他的一个通项公式.

;

;

.

解 ,通项公式为：.

,通项公式为：.

,通项公式为：.

3.2 公式法

当给出的题目告知为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需要知道该数列的首项，公差或者公比即可.

例2 已知递增的等差数列满足，求该数列的通项公式？

解 已知该数列为等差数列，设公差为，则有

,

代入

,

得

,

解得

,

所以

.

例3 已知等比数列，求数列的通项公式？

解 已知该数列为等比数列，设公比为，则有

，

代入

，

得

解得

所以

.

3.3 累加法

形如即可以用逐项作差后累加的方法消去

=.

例4 已知数列

解 ，则

=

=

=

=,

所以数列的通项公式为.

3.4 邻差法

已知数列的前项的和的关系，求.此类问题可将其化归为只关于或只关于的递推关系.找出已知与前项和之间的前一个或后一个关系.然后相减得出仅含有递推关系的式子.

例5 在中，已知数列前项和为，且存在，求数列的通项公式.

解 当，

，

所以，

所以数列是一个以

所以.

3.5 累乘法

形如的数列，可以用逐项作商后求积的方法消去项，即.

例6 在中，存在，求数列的通项公式.

解 因为由，则

，

所以

.

3.6构造法

已知数列首项和递推关系，根据数列递推式的结构以及特征，将递推式进行变形，构造出常见的等差数列或等比数列进行求解.

关系式：的题型.可令，从而转化成等差数列，然后得出数列的通项公式.

例7 设，对任意的，

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