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摘 要

：本文概括总结了几种求函数极限的方法，如定义法，洛必达法则，等价无穷小代换，等价无穷小性质，泰勒展开等和利用中值定理求一元函数极限，并在一元函数求极限的基础上，总结了二元函数极限的解法.

关键词：函数极限， 无穷小代换， 泰勒展开

Abstract:In this paper,we summarize several kinds of method for the limit function, such as definition, L"Hospital Rule, Equivalent Infinitesimal Substitution,Equivalent infinitesimal properties,Taylor expansion and by the mean value theorem for limit function of one variable.Based on one variable,we summarize the limit solution for function of two variable.

Keywords: function limit ,infinitesimal substitution , Taylor expansion.

目录

1 引言 …………………………………………………………………………………………………… 3

2 函数极限的概念…………………………………………………………………………………… 3

3 一元函数极限和二元函数极限通用解法 ………………………………………………3

3.1 定义法（法）………………………………………………………………………………3

3.2 利用函数极限的四则运算法则…………………………………………………………… 4

3.3 利用函数极限的迫敛性……………………………………………………………………… 5

3.4 利用函数极限的连续性……………………………………………………………………… 6

3.5 利用两个重要极限 …………………………………………………………………………… 6

3.6 利用无穷小性质………………………………………………………………………………… 7

3.7 利用等价无穷小代换………………………………………………………………………… 8

3.8 利用洛必达法则………………………………………………………………………………… 9

3.9 利用变量代换…………………………………………………………………………………… 10

3.10 利用泰勒展开 ……………………………………………………………·…………………11

3.11取对数法……………………………………………………………………………………………12

4 适用于一元函数极限解法………………………………………………………………………13

4.1 利用导数定义… …………………………………………………………………………………13

4.2 利用拉格朗日中值定理………………………………………………………………………13

4.3 利用第一积分中值定理………………………………………………………………………14

参考文献 …………………………………………………………………………………………………15

1前言

在很久以前利用极限法思想来解决问题的人就有很多，如割圆术的刘徽，他就是在直观基础上运用了原始极限的观念.极限的概念通过简单的极限概念，直观的极限观，神秘的极限观，严格的极限理论和极限理论推广四个阶段的漫长演变后，变得越来越成熟，成为数学研究邻域中十分重要的一块.现在，函数极限是高等数学中的一个重要内容，它将高等数学与初等数学区分开来，也成为高等数学研究的主要方法，如我们在研究函数连续，导数，积分，微分和级数中都用到极限的知识.一般而言，二元函数的极限不太好求，但是我们可以通过转换，变形等方法使之变得易于求解，也可以利用求一元函数极限的方法来求二元函数极限，因此我将在本文中介绍一些求二元函数极限的方法.

2函数极限的概念

定义1（一元函数极限）设函数在点的某空心邻域内有定义.为定数，若对任意给的0，存在正数，使得当0时，有

,

则称函数当趋于时以为极限，记作

或.

这里需要指出的在研究函数极限时，自变量的变化趋势，除了外，还有,，，，几种情形，但这里不作一一叙述.

定义2（二元函数极限）设函数在点的某空心邻域内有定义，如果对于任意给定的，总存在正数，使当(或)时，恒有，称常数为函数当趋于有极限，记作

或.

此极限也称之为二重极限.

3一元函数极限和二元函数极限通用解法

3.1定义法（法）

这种方法对于形式比较简单且容易看出极限值的函数比较适用，若二元函数适当的选择某特殊路径后，易于求出极限值的也同样适用.但要注意的是，当看出函数极限值后必须使用函数极限的定义来证明此极限值为函数极限.

例1 求极限(1)； (2).

解 (1)易看出当时，无限趋近于5.下面证明

.

任意的都存在当时

.

所以由定义得

.

(2)选择特殊路径

,

.

下面证明

.

对于任意的存在，当时，有

由于

,

所以

，

即

.

3.2利用函数极限的四则运算法则

这种方法适用于有限个简单函数进行有限次加，减，乘除运算后得到的函数，对于有些函数还要先进行适当的变形,如：分子或分母有理化，通分等，然后再运用四则运算法则.但要注意的是，在利用运用四则运算法则解题时，每项的极限值必须都存在且对于有分母的函数，分母极限不为0.

例2 求极限（1）； （2）.

解 （1）=

=

=

=.

（2） =

=

=2.

3.3利用函数极限的迫敛性

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