论文总字数：5041字

摘 要

关键词：分块矩阵，矩阵的秩，矩阵的逆，正定矩阵

Abstract: Block matrix has a wide application in the higher algebra .We mainly discussed the application of block matrix on calculating in the matrix determinant, inverse matrix, the solution of linear equations, positive definite matrix and characteristic value of the matrix in this paper .

Key words: block matrix,rank of matrix,inverse of matrix,positive definite matrix

目 录

1 引言………………………………………………………………………4

2 分块矩阵…………………………………………………………………4

2.1 分块矩阵的概念………………………………………………………4

2.2 常见分块初等矩阵的形式……………………………………………4

2.3 符号约定………………………………………………………………4

3 分块矩阵在计算题中的应用……………………………………………5

3.1 利用分块矩阵计算行列式……………………………………………5

3.2 利用分块矩阵求解线性方程组………………………………………6

3.3 利用分块矩阵的方法求可逆矩阵的逆………………………………9

4 分块矩阵在证明题中的应用……………………………………………10

4.1 利用分块矩阵证明行列式……………………………………………11

4.2 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩的等式(或不等式)………………11

4.3 利用分块矩阵证明实对称矩阵的正定性……………………………12

4.4 利用分块矩阵证明有关特征值的问题………………………………13

结束语 ………………………………………………………………………15

参考文献 ……………………………………………………………………16

致谢 …………………………………………………………………………17

1 引言

在高等代数中，矩阵分块方法是一种很实用，很高效的方法..研究许多问题都要用到它，特别是在处理级数较高的矩阵时，分块之后，使各矩阵之间或矩阵内部之间的关系变得更清楚.本文分块矩阵在证明行列式等式、证明有关矩阵的秩的等式、证明实对称矩阵的正定性、证明有关特征值的问题、求矩阵的逆、求解齐次线性方程组、计算行列式等方面的应用做一研究，每个部分都给出了一些实用性较强的定理和经典例题，通过这些具体实例的应用可以看出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性.

2 分块矩阵

2.1 分块矩阵的概念

有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块.

设是一个矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线将它分成s块，于是，我们就得到了一个有块的分块矩阵，

，

在这里表示的是一个矩阵，可以看成以子块作为元素的矩阵.

2.2 常见分块初等矩阵的形式

1. 对分别进行两行、列对换得，；

2）对某一行左乘一个矩阵非零得，某一列右乘一个非零矩阵得；

3）对某一行加上另一行的（矩阵）倍数得，某一列加上另一列的（矩阵）倍数得.

2.3 符号约定

本文用“”（“”）表示将分块矩阵的第块行列的左右倍加到第2块行列上；用“”表示把分块矩阵的第一块行列和第2块行列互换；用表示用可逆矩阵左右乘分块矩阵的第1块行列.还约定用表示单位矩阵，用表示阶单位矩阵.

3 分块矩阵在计算题中的应用

3.1 利用分块矩阵计算行列式

定理1 设、、、都是阶方阵，其中，且，.

定理2 设、都是阶方阵，则有.

定理3 设是一个四分块阶方阵，其中为阶方阵，为矩阵，为矩阵，为阶方阵，则有

1）若可逆，则；

2）若可逆，则.

定理4 设是一个四分块阶方阵，其中为矩阵，为阶矩阵，为阶方阵，为矩阵，则有

1. 若可逆，则；
2. 若可逆，则.

利用上述定理，在某些情况下计算行列式会很方便.

例1 计算行列式，其中.

解 是一个阶行列式，先对矩阵进行如下分块.令

，，，，

从而

.

因为

，

所以当时，C可逆，且

，

由定理4可得

3.2 利用分块矩阵求解线性方程组

设个未知数个方程的线性方程组为

（1）

设，(其中表示矩阵的转置），

则方程（1）的矩阵形式为.

把方程组（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式

，

其中

，，，

，，，

，，

，，

方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成形式简单的同解方程组，从而求出其解.

定理5 设方程组（1）有解且，，则方程组 与同解.

定理6 设方程组（1），则方程组（1）的一般解为

，

其中分别取记为阶单位阵.

运用线性方程组的增广矩阵与系数矩阵等相关概念，并结合矩阵的分块进行求解，可简化计算.

例2 求解方程组

.

解 将方程组写成矩阵的形式表示，并进行分块，有

，

其中

，，，.

先求出的逆矩阵

，

并计算得

，

将两端左乘矩阵，

，

得到

.

解矩阵方程

，

得

，，

所以有

.

故所求方程组的解为

，，，，.

3.3 利用分块矩阵的方法求可逆矩阵的逆

求矩阵的逆的基本结论

1. 矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，即，而.
2. 若矩阵、可逆，那么与也可逆，且，.
3. 若阶矩阵，其中，，，，是可逆矩阵的充要条件是阶矩阵（其中），经过有限次初等变换后可化为，则.
4. 若矩阵、、、均可逆，则有如下公式

a)，；

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5041字