论文总字数：4873字

摘 要

关键词：特征值，特征向量，矩阵的秩，二次型

Abstract：We introduced the theory of matrix eigenvalues and eigenvectors of some related applications in this paper, And we gave some examples to show practicability and superiority of eigenvalues in solving problem.

Keywords： eigenvalues,eigenvectors,rank of matrix,quadratic form

目 录

1 引言 4

2 矩阵的特征值与特征向量的一般理论 4

3 矩阵特征值与特征向量的应用 6

3.1 用方阵零特征值的代数重数确定方阵的秩 6

3.2 特征值和特征向量与矩阵对角化 8

3.3 特征值法求解二次型的条件最值问题 9

3.4 判定实二次型的正定性 12

参考文献 14

1 引言

矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段,由此演绎出丰富多彩的理论画卷.求解矩阵的特征值和特征向量,是高等数学中经常碰到的问题.一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量.

为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基，使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质能对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化难为易, 化繁为简.本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. (见参考文献[1] [2] [4])

 2 矩阵的特征值与特征向量的一般理论

定义1^[1] 设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得

，

则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量．

定义2^[1] 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式

，

称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.

例1 设矩阵

，

求的特征值与特征向量．

解： 因为特征多项式为

,

所以特征值-3（二重）和9．

把特征值-3代入齐次方程组

，

得到

，

它的基础解系是

，．

因此，属于-3的两个线性无关的特征向量就是

，

而属于－3的全部特征向量就是，，取遍数域中不全为零的全部数对. 再用特征值9代入, 得到

，

它的基础解系是

．

因此, 属于9的一个线性无关的特征向量就是

，

而属于9的全部特征向量就是, 是数域中任意不等于零的数．

3 矩阵特征值与特征向量的应用

3.1 用方阵零特征值的代数重数确定方阵的秩

用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论．

引理1^[1] 如果方阵的秩为，则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量组中，必恰有个是线性无关的.

定义3^[8] 在矩阵运算中，该矩阵特征值为特征多项式的根，属于该特征值的所有特征向量构成的空间的维数称为几何重数.该特征值重根的重数就称为该特征值的代数重数.

引理2^[8] 矩阵特征值的几何重数不大于代数重数.

证明：设是矩阵的特征值，是矩阵关于特征值的特征向量，则是关于的特征子空间的基，故可扩充为维空间的一组基，.设，显然可逆，则

，其中，

令,则，故的代数重数至少为，即.

定理1^[8] 如果方阵的秩为，设有零特征值，且其重数为，则必有

.

证明：因有零特征值，=0，则必有，不等式右边成立.

现设重零特征值对应的特征向量组，则令

.

由此可见，零特征值对应的特征向量即为以为系数矩阵的元齐次线性方程组的非零解向量，设其解空间的维数为，又由的秩为，由引理1知.而即为对应于零特征值的代数重数.即为对应于零特征值的几何重数.由引理2可得出即，移项得，所以不等式左边得证.

因此，当矩阵零特征值代数重数为一定值时，满足一定的关系

.

由该定理1可得出以下两个推论:

推论1^[8] 如果方阵仅有1个零特征值，即，则必有的秩.

证明：因为且，所以，又因为为矩阵的秩，且均为正整数，所以必有.

由移项可得且零特征值代数重数，则.即如果的秩为，则的零特征值的代数重数

,

由此可得出第二个推论:

推论2^[8] 设方阵且的秩为1,的个特征值为，则必有

.

证明：因为,，所以，而均为正整数，类似推论1的证明可得.

由，因中有个零，则中只有一个非零且等于.

因此，零特征值代数重数仅能限定秩的范围，而在此范围内秩是由特征值的几何重数决定的.

例2 设=，利用特征值法求的秩.

解：的特征多项式为

，

则的特征值为，由推论1可得.

例3 设，求的特征值.

解：显然的秩，故由推论2可得.

3.2 特征值和特征向量与矩阵对角化

定理2^[1] 设阶方阵的个特征值为,A可相似对角化的必要条件是的特征根全在数域中. 且为对应的个线性无关的特征向量, 记, 则

.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：4873字