论文总字数：5756字

摘 要

关键词：函数,最大值,最小值,多元函数

Abstract: Middle school mathematics function most value problem is an important content of middle school mathematics. In this paper, we discussed the methods of maximum value and minimum value about function of one variable, and calculated extreme value of multivariate functions.

Keywords:function,maximum value,minimum value,multivariate function

目 录

1 引言…………………………………………………………………………4

2 一元函数最值问题的解法…………………………………………………4

2.1 二次函数…………………………………………………………………4

2.2 三角函数…………………………………………………………………5

2.3 均值不等式法……………………………………………………………7

2.4 导数法……………………………………………………………………8

3 多元函数的极值解法………………………………………………………11

3.1 向量解法…………………………………………………………………11

3.2 数形结合（利用图像法求解）…………………………………………13

结论 ……………………………………………………………………………15

参考文献 ………………………………………………………………………16

致谢 ……………………………………………………………………………17

1 引言

现如今,教育思想正一步步从传统的应试教育向全新的素质教育转型,学生们不仅仅要学习书本上一些知识层面的内容,也要掌握一定的思维和方法、解题的技巧等,这样有助于在实际生活中成功解决问题.所谓“授人以鱼不如授人以渔”,因此掌握解题方法在数学教学中显得至关重要.我们知道,函数它是中学数学的重要组成部分,其中函数最值问题又是函数问题的重要内容,用合理的方法面对函数最值的求解,有效地解决实际问题,这就涉及到许多我们已经学过的知识点,需要我们巩固知识、提升能力.

函数最值题目是常见的数学题目类型,它在科学研究及日常生活当中常常被用到,与此同时在中学数学教学以及各类考试、竞赛中占据着重要位置.总结经验,分析讨论各类问题的求解方法,综合运用数学技能对于解决问题起着决定性作用.本文现拟对函数最值问题的解题方法及注意问题作一个剖析,并通过例题加以说明,灵活选择合适的解题方法.

为了方便阅读,本文先介绍函数最值定义.

定义1 设函数的定义域为,如果存在实数满足对于任意实数,都有且存在使,那么,我们称实数是函数的最大值,记作.若实数满足对于任意实数,都有且存在使得,那么,我们称实数是函数的最小值,记作.

2 一元函数最值问题的解法

2.1 二次函数

求解二次函数在上的最值,如果,那么,中较大的就为最大值,较小的为最小值,如果,那么中较大的为最大值,较小的为最小值.求解二次函数在R上的最值,当时最小值,当时最大值.

例1 设在区间上最小值是,求（定轴动区间问题）.

解 在时取最小值-11.

当即时,

,

当时,

,

当时,

.

故

.

例2 求在上的最值（动轴定区间问题）.

解析 该二次函数的对称轴为,分情况讨论对称轴在区间左侧,在区间上,在区间右侧时的最值.

解 函数的对称轴为.

当时,

.

当时,

.

当时,

.

当时,

.

2.2 三角函数

求三角函数的最值,对于三角函数恒等变形和综合解决数学问题的能力我们就有了更高的要求,因此讨论三角函数的最值问题的解决方法和对实际问题中的应用的分析,提高同学们解题的技巧和能力.

解决三角函数问题,正弦函数和余弦函数具有一个基本和重要的特点就是有界性,那么求角三角函数最值最基本的方法就是利用正弦函数及余弦函数的有界性求解.

例3 求函数的值域.

分析 本题是形如的三角函数问题,分子还有分母的三角函数名相同且角相同,所以这种问题就先将其转化为部分分式的形式,根据三角函数的有界性去解.或者它还能用反解的方法,再根据三角函数的有界性去解.

解法一 原函数变为

,

因为

,

可直接得到

或.

解法二 原函数变形为

,

因为

,

所以

,

可得到

或.

用配方法情形是函数表达式中包含正弦函数或有余弦函数的,同时角是单角或者倍角,函数的最高次数是2次的时候能够用这个方法.

例4 求函数的最值.

分析 三角函数中,一个是正弦,一个是余弦,角又分别是单角与倍角,所以想让每一个三角函数实现统一.

解 ,

因为

,

所以

,

,

,

.

若表达式中包含同时又包含的函数,就能够采用换元法将其变为与相关的二次函数的形式来求解,要留意换元之后的新变量的定义域.

例5 求函数的最值.

解 设

,

则

,

且

,

,

故当即时,

.

当即时,

.

2.3 均值不等式法

众所周知,均值不等式形式多样,而最基本的就是较常用到的当且仅当时等号成立,其中.通过均值不等式这个辅助工具解决函数的最值问题,学生们在研究函数最值问题时就有了又一有利的技巧,还有更加有效的途径和更加方便的手段求解问题.

例6 求的值域.

解 这个看上去没办法直接利用均值不等式,但是能将分子进行配方,得到包含的项,最后把它分离.

,

当即时,

（当且仅当时取“=”号）,

当即时,

（当且仅当时取“=”号）.

故的值域为.

分式函数求解最值,一般转化为函数,其中是恒正的或者恒负的,再利用均值不等式去求最值.

例7 求函数的最大值(换元法).

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