论文总字数：5490字

摘 要

关键词：群,子群,单位元,逆元

Abstract： In this paper, we study the necessary and sufficient conditions for groups of products of two, three, four, five and six even n finite subgroups.

Keywords：group¸subgroup¸identity element¸inverse element

目 录

1 引言 4

2 子群定义,定理及相关推论 4

3 子群乘积成群的充要条件 6

3.1 两个子群乘积成群的充要条件 6

3.2 三个子群乘积成群的充要条件 7

3.3 更多个子群乘积成群的充要条件 8

3.4 个子群乘积成群的充要条件 10

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

群拥有长久的历史，现在已经成为一门范畴普遍且内容丰富的重要数学分支，其在近世代数和整个数学中占据重要的地位.然而，群的范围非常的广泛，这对我们的研究不免会带来诸多不便.从数学的角度上来说，我们在研究一个事物的时候，往往从局部到整体更易突破，为此子群在群论中显得尤为重要.

特别地，在通过学习子群的各种特征和性质之后，我们思考:若两个子群相乘，其乘积是否能构成一个群呢?进而构成一个子群呢?针对这样一个疑问，下面我们给出两个简单便于计算的例子做一验证：

例1 设群(3次对称群)，即.

分析 我们给出的两个子群，，那么， ,

故显然,且本身也不构成群，更不是的子群.

通过这个例1我们提出疑问:那么有没有两个子群乘积成群的情况呢?

在子群的性质中，当两个子群满足交换律时，其乘积成群，下面给出具体例子：

例2 取定一个整数，令那么是整数加群的一个子群.

分析 1) 当取到相同的一个数值时，显然地，的子群对其本身的乘法仍为子群，即：；

2）当取到另外两个不同整数则故

同理也可以推出对即整数加群的子群乘积仍为子群.

以上例题我们发现，两个子群乘积成群需满足一定的条件，所以本文主要通过子群的各种特征和性质来研究什么样的条件下子群的乘积成群.同时考虑是否可以放到更一般的情况，讨论3个，4个，5个，6个，甚至是个子群相乘成群的情况.

2 子群定义,定理及相关推论

在中，我们学习了有关子群的定义及其判定定理，特别地，在文中：若的给出，我们不禁思考该如何给以证明此结论呢?进一步想:多个子群在满足一种什么样的条件下，其乘积可以成群?基于这些问题的提出，我们首先给出一些相关的定义及性质，在此基础上再加以证明和探讨.

定义1 我们说，一个非空集合对于一个叫乘法的代数运算来说作成一个群，假如

I.对于这个乘法来说是闭的；

II.结合律成立:

IV.

V.对于

定义2 设是群的一个非空子集，如果对于里的代数运算能作成群，则称的子群，记作：

对于子群的判定，如果直接利用定义，相对较麻烦，故一般我们利用子群的判定定理，为阅读方便，我们列出以下子群判定定理:

定理1 一个群的一个非空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是

1. ;

2).

推论 假定是群的一个子群，那么的单位元是的单位元，的任意元在里的逆元就是在里的逆元.

定理2 一个群的一个非空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：

.

定义3 设是群的任意两个非空子群，我们规定:

,

并分别称为的乘积，

同时由上面定义可推出:对群的任意3个非空子群均有 以下性质.

此外，由定理1和定理2可以给的出以下两个推论:

推论1 群的非空子集作成子群的充分而且必要条件是.

证明 充分性 若

故

必要性 反之若,则由可知的乘法封闭，

由定理1知

推论2 群的非空子集作成子群的充分而且必要条件是（即把推论1的充要条件合并可得，因此结论显然成立的）.

特别地，当为群的非空有限子集时，其作成子群的充分而且必要条件是.

3 子群乘积成群的充要条件

3.1 两个子群乘积成群的充要条件

基于以上基础知识的给出，现在我们对于前言所提出的猜想和问题进行实际探讨，从数学的角度上看，我们在研究一个问题时，往往本着由简入深，从特殊到一般的思想着手解决，因此我们不妨先从两个子群乘积入手.首先介于考虑方法上，我们说怎样有效利用以上所给出的的知识点呢？从而使问题证明起来简单易懂，故从两个角度来分析一下：（1）直接根据子群的定义来证明；（2）借助推论1和推论2.下面我们就两种方法给出具体证明过程：

定理3 若

证明(一) 必要性 定理2，只需证对

由定义3知，则 故.

另一方面由于.

又因为,则必故有=故

充分性 那么，

另一方面，在即

又因为故于是.

证明(二) 充分性 若

同时又由推论1知从而我们可以得到：

必要性 若,则有从而有推论2知：

由以上两种证明方法上看，我们不难看出方法(二)更加简洁明了，其抛开子群本身的判定定理这种直接的手段，通过给出的定理和推论来证明，看起来是更适合我们继续这个问题研究的方法，同时我们不禁思索在接下来的3个，4个，5个，6个…个子群乘积问题上，是否也可以将方法(二)推广下去呢?为此这将为本课题的内容和结构提供非常有利的依据.

3.2 三个子群乘积成群的充要条件

对于上节两个子群乘积成群的情况的探讨，同理也可以试着推广到三个子群乘积问题上：

问题:设分别是群的三个子群，则

;

;

.

我们可以把看作一个整体，即有：设的子群，则

又因为

因此我们尝试说明以下定理：

定理4 设分别为群的三个子群且任意两个子群乘积还是子群，则

证明 充分性 若推论1知

又因为故得

必要性 若则已知任意两个子群乘积还是子群，

由

故

故由推论2可知证毕.

显然地，在证明三个子群乘积成群的过程中，我们发现:多次用到定理1,定理2的内容和推论1，值得注意的是：我们承认并利用了两个子群乘积成群的充要条件，即任意两个子群乘积可以任意交换，在证明过程中曾进行两个子群乘积的交换，最终得证.因此在下面的探讨中我们将会更频繁的进行交换，其中子群乘积必须按照一定的字母排列顺序组成.为了更加进一步地探究这个问题，接下来我们将继续给出4个，5个，6个子群乘积情况.

3.3 更多个子群乘积成群的充要条件

在上一节内容里，我们证明了3个子群乘积成群的事实，那么紧接这个问题，下面我们试着给出以下定理并分析和证明.

定理5 设分别是是群的四个子群，且任意个子群的乘积（按照字母一定的排列顺序构成，即：)仍为子群，则有

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