论文总字数：4294字

摘 要

关键词：矩阵的对角化，判断，应用

Abstracts: Matrix diagonalization occupies the important status in the study of matrix, this article mainly tells the story of the definition of matrix diagonalization and some discriminant method, and on the basis of these to explore and explain a series of application.

Keywords: matrix diagonalization, discriminant, application

目录

1 前言…………………………………………………………………4

2 矩阵可对角化的定义………………………………………………4

3 矩阵可对角化的判别方法…………………………………………4

3.1 常规判别法………………………………………………………4

3.2 初等变换法………………………………………………………5

3.3 简单判别法………………………………………………………6

4 可对角化矩阵的应用………………………………………………7

4.1 利用矩阵的对角化求行列式……………………………………7

4.2 利用矩阵的对角化判断矩阵是否相似…………………………7

4.3 利用矩阵的对角化求高次幂矩阵………………………………8

4.4 利用矩阵的对角化求解数列通项………………………………9

结论……………………………………………………………………10

参考文献………………………………………………………………11

致谢……………………………………………………………………12

1 前言

在数学研究中，矩阵占着重要的地位.对于矩阵而言，特征值和特征向量是其中的重点，而矩阵的对角化则很好地对二者进行了补充，并且对矩阵的研究有着不可忽视的意义.本文主要讨论几种矩阵可对角化的判别方法以及矩阵对角化的一些应用, 体现矩阵对角化对矩阵研究以及数学研究的重要意义.

2 矩阵可对角化的定义

设表示实矩阵的集合，表示阶单位矩阵.

定义 设, 若存在一个相似变换矩阵, 使为对角矩阵, 则称矩阵可对角化.

3 矩阵可对角化的判别方法

3.1 常规判别法

利用矩阵的特征值来判断矩阵是否可对角化，这是一种较为基础的、简单的方法，我们就借用图表来进行总结概括.

重特征值的代数重数是否等于几何重数

矩阵有无重特征根

例 设矩阵，判断是否可对角化，若可以则求可逆矩阵使得为对角矩阵.

解 ，可得，，.因为没有重特征值，因此矩阵可对角化.当时，其对应的特征向量是；时，对应的特征向量为；时对应的特征向量为，则，是对角矩阵.

3.2 初等变换法

引理： 阶矩阵可逆当且仅当可以写成初等矩阵的乘积.

引理: 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在 的右边乘上相应的 初等矩阵.

引理： 相似的矩阵有相同的特征多项式.

定理： 若矩阵可对角化，则可以经过一系列相似的初等变换来得到对角矩阵，并且矩阵的对角线上面的元素是矩阵的特征根.

根据以上定理，我们可以得出用初等变换法来判断矩阵是否可对角化的方法，那就是把矩阵进行合同变换得到矩阵，若且对角线上的元素是矩阵的特征值时，则矩阵可对角化.

例 设矩阵,判断矩阵是否可对角化.

解

因此，，令.我们可以很容易得到，因此,则，又因该矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素是矩阵的特征根，根据定理可知矩阵可对角化.

说明：这种解题方法正是运用了一系列初等变换来观察最终能否得到对角矩阵，从而应用定理进行判别.与上述的常规方法相比，该方法只需进行初等变换便可轻易判断出矩阵是否可对角化，并且不需要大量计算便可求得可逆矩阵.

3.1 简单判别法

定义 设, 若, 则称矩阵为对合矩阵.

定理 设, , 为矩阵A的两个不同的特征值, 则矩阵可对角化的条件是当且仅当存在对合矩阵, 使得

= .

由定理可知，当矩阵只有两个不同的特征值时，它是否可对角化的一种较为简便的判别方法：若，其中 ,则可对角化，否则不可对角化.

例 判断矩阵是否可对角化.

解 由=,可得矩阵A的两个特征值，(二重).则==，= ,即是对合矩阵，由定理可知矩阵可对角化.

注 两种特殊矩阵可对角化的判别方法

幂等矩阵一定可以对角化.

说明：设矩阵为幂等矩阵，则.与上文中对合矩阵的对角化判断类似，我们可以根据矩阵的特征值来进行判断，因为幂等矩阵的特征值只有1和0，

我们很容易得出，因此幂等矩阵是一定可以对角化的.

非零的幂零矩阵一定不可对角化.

说明：设矩阵为非零的幂零矩阵，则，且.因为的特征值全为0，所以如果矩阵可对角化，那么则存在可逆矩阵，使得，因此，这与矛盾.故我们可以得出结论，如果一个幂零矩阵可以对角化，那么该幂零矩阵一定是零矩阵,即非零的幂零矩阵一定不可对角化.

3 矩阵对角化的应用

3.1 利用矩阵的对角化求行列式

对于一般的行列式，我们通常利用其性质对行列式进行恒等变换，将其化为三角行列式然后进行计算.但如果当所要计算的矩阵可对角化时，则有更简单的方法.

例 已知3阶矩阵有3个互不相同的特征值-1,1，2.设矩阵，是阶单位矩阵，求以及.

解 因矩阵有3个特征值-1，1，2，故存在可逆矩阵使得

.

因此：=====-32

====-30

3.2 利用矩阵的对角化判断矩阵是否相似

例 判断= , =是否相似.

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