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摘 要

不等式的证明是数学研究的重要内容，不等式的证明方法多种多样.但是有些不等式用初等方法来证明时难度系数较高并且需要很强的技巧，而利用微积分的有关知识来证明这些不等式时可以使证明思路变得简单，技巧性降低.本文根据微积分的有关知识，总结了一些常见的证明不等式的基本思想和方法，并用实例加以说明.

关 键 词：微积分，不等式，单调性，泰勒公式，凹凸性

Abstract: The proof of inequalities is a crucial content in Mathematical studies. There are varied of proof methods, however, if you use an elementary method to prove inequalities, the difficulty coefficient will be comparatively high and strong skills will be necessary. While the proof line will become simple and the technique will be reduced if you verify inequalities with relevant knowledge of calculus. This paper summarizes a few basic thoughts and methods of proving inequalities and illustrates them with examples.

Keywords: Calculus, inequality, monotonicity, Taylor formula, concavity and convexity

目 录

1 前言 4

2 微分在不等式证明中的应用 4

2.1 利用函数单调性证明不等式 4

2.2 利用中值定理证明不等式 5

2.3 利用泰勒公式证明不等式 6

2.4 利用函数的极值或最值证明不等式 8

2.5 利用函数凹凸性证明不等式 9

3 积分在不等式证明中的应用 11

3.1 利用积分性质证明不等式 11

3.2 利用估值定理证明不等式 12

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 前言

17世纪到19世纪是数学发展史上的重要时期，在这个时期里数学最具影响力的发展就是微积分学的创立.微积分学的创立极大地推动了数学的发展，以前很多初等数学无法解决的问题，运用微积分学的相关知识往往迎刃而解，显示出微积分学的无穷魅力.微积分学是微分学和积分学的总称，它是一种数学思想和方法，“无限细分”是与众不同，“无限求和”是不可缺少.微积分是高等数学的核心部分，微积分的思想和方法是高等数学乃至整个数学的典型思想和方法.同时不等式也是高等数学和数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间的关系.在不等式的证明中，我们常常采用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明不等式，但是用这些初等方法证明时，常常需要较高的技巧和巧妙的变形.而随着微积分概念的引入，微积分的思想和方法作为研究函数性质的工具，在不等式证明中的作用也变得越来越明显.微积分的思想和方法的引入为解决不等式的证明找到了切入点，使不等式的证明思路简单，技巧性降低.

2 微分在不等式证明中的应用

2.1 利用函数单调性证明不等式

定理1^[3] 设函数在上连续，在内可导，

（1）若在内，则在上单调增加.

（2）若在内，则在上单调减少.

利用函数单调性证明不等式时，关键是把证明不等式的问题转化为求解函数的单调性问题.其证明的一般步骤为：第一步，构造适当的辅助函数，通常取不等号两边的函数之差或之商作为辅助函数；第二步，求辅助函数的导数，再利用定理1判定辅助函数所在区间的单调性；第三步，利用函数单调性的定义来证明不等式.要注意在使用函数单调性证明不等式时，不等式两边的函数必须可导；对于所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间上可导，且在闭区间的某端点处的值为或.当一阶导数不能判断函数的单调性时，我们往往需要利用高阶导数来判定函数的单调性.

例1 证明不等式：当时,.

证 令,则有.

因为当时，,所以在上单调递增.

故当时，,既.

例2 证明不等式：当时,.

证 令,则有.

因为当时,,所以在上单调递减,

可以得到：

.

故在上单调递减,当时，,

故，即.

2.2 利用中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理^[1]：若函数满足如下条件：

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得

.

拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

；

；

.

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，应用最广泛的是拉格朗日中值定理.利用微分中值定理证明不等式时，关键是选取适当的中值定理和中值公式，其证明的一般步骤为：第一步，根据所要证明的不等式，构造适当的辅助函数和区间（若要用柯西中值定理，则要选取和与相应的区间）；第二步，当函数在区间上满足中值定理的条件时，就会得到相应的中值公式；第三步，对中值公式进行适当的变化得到所要证明的不等式.

例3 证明：对有.

证 令,则,

因为在上满足拉格朗日中值定理的条件,故

,

因此

,,,

故.

例4 设,证明：.

证 令,则.

因为在上满足拉格朗日中值定理的条件,故

.

下面对进行估计,令,则,

当时,,故单调减少,

于是 ,

即,故.

2.3 利用泰勒公式证明不等式

泰勒定理^[1]：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶的导函数，则对任意给定的，至少存在一个点，使得

如果证明中出现已知条件含有一阶导数和二阶导数等高阶导数时或者所要证的不等式里含有一阶导数或二阶导数时，可以尝试使用泰勒公式证明.利用泰勒公式证明不等式时，关键是泰勒公式中和的选取，其证明的一般步骤为：第一步，对泰勒公式中和取适当的值得到两个式子；第二步，对两式相加减，并对某些项进行放缩，将多余的项去掉从而得到所要证明的不等式.当条件中出现，而欲证式中出现时，展开点常选为区间两端点,然后在泰勒公式中取为适当的值，消去多余的项，可得到待证的不等式.

例5 设在区间上,二次可导,并且,证明当时,.

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