论文总字数：4172字

摘 要

关键词：泰勒公式，近似值，极限，恒等式，不等式，高阶导数

Abstract: The basic idea of Taylor"s formula is to use polynomial to infinitely approach a known and local function. This paper mainly introduces the applications of Taylor"s formula on approximate value，limitation，identical equation and so on，which reflects the function of making hard things simple in the differential calculus.

Keywords: Taylor formula，approximation，limit，identity，inequality，higher　order derivatives

目录

1　引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

2　泰勒公式的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

3　泰勒公式的计算与运用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

3.1　利用泰勒公式计算近似值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

3.2　泰勒公式在求极限上的运用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5

3.3　利用泰勒公式判断级数的敛散性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5

3.4　恒等式以及不等式的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6

3.5　泰勒公式在证明微分中值定理中的运用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8

3.6　利用函数的泰勒展开式求函数在某点处的高阶导数．．．．．．．．．．．．．．．．．9

3.7　利用泰勒公式求某些微分方程的解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10

结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11

主要参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12

致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13

1　引言

泰勒公式，作为拉格朗日中值定理的一个推广，以其可以将复杂函数转化成简单多项式的功能，大大简化数学计算．泰勒公式在高等数学中占有很重要的地位，尤其在解决一些具体的或复杂的函数的微积分问题时，是一种十分方便的解题手段．下面将通过几个例子说明泰勒公式如何简化高等数学的计算．

2 泰勒公式的定义

设函数点的某邻域内具有直到（）阶导数.则对此邻域中的每一点，可表示为

称为在处的泰勒公式．

　当时，称为带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式．

　当=0，时，称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

　当在内存在阶导函数，则，此时称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式．

　当=0，时，称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

3　泰勒公式的计算与运用

3.1　利用泰勒公式计算近似值

例1　求的值（精确到）．

分析　根据泰勒展开式的余项解决此类问题时，首先要把所求数化为和函数形式，接着利用在原点展开的带拉格朗日余项的泰勒公式，再取值进行近似计算即可．

解　由于的带有拉格朗日余项的泰勒公式在原点的展开式为

(介于0与之间)，

所以

(介于与之间)．

要使，

故取即可．

，

此时误差．

3.2　泰勒公式在极限上的运用

例2　求．

分析　该式是型的极限问题，若使用洛必达法则，分子分母需要求导4次，而且越向后计算越加繁琐，若使用带佩亚诺余项的泰勒公式进行求解，则十分简便．

解　

．

说明在求极限时，当函数形式中未知数次数不高时，使用洛必达法则十分便捷而当函数形式不易求导或者需多次求导且过程异常繁琐时，带佩亚诺形式的泰勒公式结合高阶无穷小，便显现出更大的优势．

3.3　利用泰勒公式判断级数的敛散性

例3　讨论级数的敛散性．

分析　该级数的正负若直接根据通项判断比较困难，而依据，并利用泰勒式公式会使计算变得明朗起来．

解　因为 ，

所以．

即该级数为正项级数

又因为收敛，再由正项级数比较判别法可知原级数收敛．

说明当所要判断级数是由不同类型的函数式复合而成时，可以利用泰勒公式并结合放缩技巧将级数通项简化，便于进一步判断敛散性.此外泰勒公式还可以用于判断广义积分的敛散性.

• 1. 恒等式以及不等式的证明

例4　设在上有连续的二阶导数，且，试证

，

分析　因为不等式右边具有，可以考虑将函数=展开为二阶泰勒公式，为便于使用，可在点处泰勒展开，接着再使，，此时式子可以得到简化.

证明　，设，

则有，，，，

把在处展开二阶泰勒公式

．

令，

令，

其中在与之间，在与之间，接着再分别令，，然后相加可得

．

设，，

故 ．

又因为在上连续，再由介值定理可知，使得

，

故

，

因此

，．

说明当已知被积函数是二阶及二阶以上可导时，可以使用泰勒公式.其展开式要依据题目中的要求选取适当的展开点，因为泰勒公式为局部函数.展开后，再对泰勒余项做适当的处理即可，一般是运用中值定理.该方法同样适用于不等式的证明.

例5　设在上二次可导，且，，试求，使得．

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