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摘 要

微分方程是表达某些自然规律的数学语言，它源于生产实践与科学技术，成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。常微分方程初等解法包括分离变量法、齐次变换法和一阶线性常数变易法等，它们都能归结于积分因子法。本文在介绍恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结出求解一阶微分方程积分因子的几种常用方法，比如观察法、公式法和分组法等，并应用积分因子求解了一些方程。最后，本文还找到了一类新的积分因子，给出了证明及应用例子。

关键词：微分方程，积分因子，恰当微分方程

Abstract：Differential equation is an expression of some nature of mathematical language, it comes from the production practice and science and technology, the modern science and technology to analyze and solve problems in a powerful tool. Ordinary differential equation of elementary solutions including separation variable method, homogeneous transformation method and the first-order linear constant variation method, etc., they can be attributed to integral factor method. This article introduces the exact differential equation and integral factor on the basis of the concepts and related theorems, sum up out of the first order differential equation of integral factor of several commonly used methods, such as observation method and formula method and grouping method, and application of integral factor to solve some equations. Finally, the article also found a new class of integral factor, proof and application examples are given.

Keywords: Differential equation, integral factor, exact differential equation

目 录

1绪论………………………………………………………………………………………… 4

2一阶微分方程积分因子的几种解法………………………………………………… 5

2.1观察法……………………………………………………………………… 5

2.2公式法……………………………………………………………………………………6

2.3分组法……………………………………………………………………………………8

2.4其他………………………………………………………………………… 9

3一类新的积分因子…………………………………………………………… 9

结论………………………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………………14

1 绪论

微分方程差不多是和微积分同时产生的，在牛顿和莱布尼茨奠定微积分的基本思想的同时，他们也正式提出了微分方程的概念.

如果微分形式的一阶方程的左端恰好是一个二元函数的全微分，即则称是全微分方程或恰当微分方程.例如方程就是一个全微分方程。因为它的左端恰是二元函数的全微分

在18世纪末，常微分方程已成为有自己的目标和方向的新的数学分支，成为当时工程技术、物理、力学等学科的基本工具之一。 微分方程也就成了最有生命力的数学分支.

我们知道，一阶微分方程是全微分方程的充要条件只须满足

,

但是，方程未必都是全微分方程，例如，下面这个简单方程就不是全微分方程，因为，。如果当不满足

,

若有连续可微函数使

,

则方程为全微分方程，即可解

因此，如果将上面这个方程两端同乘以，得到方程,这是一个全

微分方程，因为此时有.通常我们称为方程的积分因子，

因为它可该方程变成全微分方程.

易于看到，将展开并整理后，上式化成

.一般来说该偏微分方程是不易求解的，不过对于某些特殊的情况，该偏微分方程的求解还是比较容易的

如① 变量可分离方程可以看出它的一个积分因子为.

② 线性方程可看出它的一个积分因子为

.

③ 齐次方程经过换元整理后可以求出它的一个积分因子为

本论文主要讨论积分因子的几种常见解法，比如观察法、公式法和分组法等并应用积分因子求解了一些方程,同时还找到了一类新的积分因子

并在第三章中详细地给出了证明及应用例子.

2 一阶微分方程积分因子的几种求法

2.1 观察法

对于一些简单的微分方程可通过适当分组，利用依一些常见的全微分方程公式观察可得到方程的积分因子，此法称之为观察法.对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子.

如:⑴有积分因子，

⑵有积分因子.

例1 求解方程.

解：直接观察方程的左端，有

=

=

=，

从而方程的左端是一个全微分，原函数为

.

于是原方程的通积分即为

.

2.2 公式法

一阶微分方程，根据整理获得的偏微分方程

，归纳总结得到存在形如:、、、等积分因子，且充要条件分别如下:

定理1方程存在形如的积分因子的充要条件是

.

其中为仅与有关的函数. 且其积分因子

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