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摘 要

矩阵的秩作为矩阵理论中的一个重要内容，与矩阵的逆及线性方程组的解等有着密切的联系。我们讨论线性方程组的解、矩阵的秩和矩阵的逆一般在数域（如有理数域、实数域）上，它们在剩余类环上也可以类似讨论。但它们有一定的区别，因为剩余类环与数域的结构不同。我们将讨论一般剩余类环(是合数)上矩阵的秩和矩阵的逆相关的性质,以及线性方程组的具体求解过程。在本文中会用具体的例子来说明相关的性质和解题方法。

关键词:剩余类环，矩阵的秩，矩阵的逆，线性方程组

Abstract： The rank of matrix plays an important role in the theory of matrix, which is closely linked to the inverse of matrix and the solution set of system of linear equations and so on. We discuss the solution set of the system of linear equations, the rank of matrix and the invertible matrix in the field of numbers (such as the field of rationals, the field of real numbers), they can also be analogous discussion on the residueclass ring. But they havesome distinctions between the residueclass ring and the field of number. We will discuss the correlated property of the rank of matrix and the invertible matrix on the general residueclass ring ( is a composite number), and the specific solving process of the system of linear equations. In this article , we will illustrate the correlated property and the method of solving problem with specific examples.

Keywords： the residueclass ring，the rank of matrix，the inverse of matrix，the system of linear equations

目 录

1 绪论…………………………………………………………… 4

2 剩余类环上矩阵的秩…………………………………………………… 6

3 剩余类环上矩阵的逆 ……………………………………………………13

4 剩余类环上线性方程组的求解的应用………………………………16

结论 ………………………………………………………………………………… 21

参考文献……………………………………………………………………………22

致谢 ………………………………………………………………………………… 23

1 绪论

这篇论文的目的，既有解释剩余类环中矩阵性质、线性方程组的解等问题，也有在他人的基础上做出一定的创新。

矩阵的性质作为矩阵理论中的一个重要内容，与矩阵是否可逆及线性方程组的解的结构等有着密切的联系。我们讨论矩阵的性质和线性方程组的解一般在数域（如有理数域、实数域）上，矩阵的性质和线性方程组在剩余类环上也可以类似讨论。但它们有一定的区别，因为剩余类环与数域的结构不同。我们将讨论一般剩余类环(m是合数)上的矩阵性质（如：矩阵的逆，矩阵的秩）以及线性方程组的求解。看得出剩余类环(是合数)上的矩阵的性质与数域、有限域上的矩阵的性质有很大的差别。这个情况同样存在于方程组的求解上。在了解剩余类环上矩阵的性质以及线性方程组的解法作出了解后，对知识点的应用进行一些尝试。因为(是合数)是一个零因子环。用表示环的可逆元集合。本文就将在(为合数)中讨论矩阵的性质，对矩阵性质的应用举几个例子；在中了解线性方程组的解法，并举例说明。

剩余类环是数论中的知识，而矩阵是高代中的知识，两者运用十分广泛，而在剩余类环上讨论矩阵的性质也有许多先行者。例如[2]中何双对剩余类环上矩阵的秩的探讨，[3]中曹淑贞对剩余类环上线性方程组的求解的探讨，[4]中赵子盈对剩余类环上矩阵可逆性的探讨。本文的目的是在如上论文的基础上，我们对矩阵的性质（矩阵的秩、矩阵的逆）和线性方程组的解做一定的探讨，找出它们的应用。具体情况如下：

本文在深入理解[2]、[3]、[4]的基础上，得到了定理：将一个行列式的某一行(列)的所有元素同时乘以中的一个元素加到另一行，行列式不变。这个定理对于行列式的计算有着极大的用处，可以将复杂的行列式简单化，在矩阵的秩的计算过程中也会经常被用到。从定义类比[5]中，矩阵的相关性质，我们得到了定理：若矩阵，的秩为的充要条件是。这个定理对于矩阵秩的判断和逆矩阵的计算方面有着一定的应用。为了矩阵秩的计算更为简便，我们引入了推论：任意非零矩阵必等价于一个阶梯矩阵，设其不为零行数是，

其中，，。当为0时，为零矩阵。并且由推论3，我们得到了性质2：若非零矩阵的等价于阶梯矩阵

其中，，，在中存在个元，这个元的乘积不等于，而任意个元的乘积均等于，则为的秩。特殊的，若，则的秩为。这是一个计算矩阵秩的方法，用这个方法计算矩阵的秩更为简便。在接下来的例题中我们也给出了具体的说明。类比[5]中矩阵相关性质，我们得到了定理：对角矩阵乘积的秩不超过各因子的秩和定理：对角矩阵和的秩不超过各因子秩的和。但数域中成立的命题在剩余类环上不一定成立，例如命题：设，，有则。在环上，，此时。还有关于逆矩阵的唯一性，我们把它作为定理做出了相关的证明。在剩余类环上线性方程组的求解应用中，由剩余类环定义可知在剩余类环上求解线性方程组等价于求解同余式组。因此，下面用同余的理论来讨论上线性方程组的解。关于一元线性同余式组，在初等数论中己经有比较完满的理论，文中我们看看关于多元线性同余式组

（1）

的具体解法。我们将运用实例来说明解法的可行性。由此，我们发现矩阵的性质与线性方程组的求解在数域和剩余类环上既有相同点也有不同点。我们在文中找出它们的相同，发现它们的不同。

2 剩余类环上矩阵的秩

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