论文总字数：4755字

摘 要

关键词：参数，取值范围，判别式法，换元法，分离变量法

Abstract: Many mathematical problems all contain parameters, how to determine the range of parameters is a very important issue, which has a very significant impact on the nature of the problem itself. In this paper, we discuss the general method specific examples seeking parameter value range.

Keywords: parameter, value range, discriminant method, change element method, separation of variable method

目 录

1 引言………………………………………………………………………………………………………4

2 参数取值范围问题的一般解法……………………………………………………………… 4 2.1 直接求解法…………………………………………………………………………………………4

2.2 判别式法……………………………………………………………………………………………5

2.3 换元法………………………………………………………………………………………………6

2.4 分离变量法…………………………………………………………………………………………6

2.5 变更主元法…………………………………………………………………………………………8

2.6 构造函数法…………………………………………………………………………………………8

2.7 分类讨论法………………………………………………………………………………………9

2.8 数形结合法………………………………………………………………………………………10

结论 ………………………………………………………………………………………………………13

参考文献 …………………………………………………………………………………………………14

致谢 ………………………………………………………………………………………………………15

1 引言

许多数学问题中，例如函数、方程、不等式等问题中往往会含有参数．参数是数学中的“活泼元素”，它兼有常数和变数的双重特征，它与主要变量相比，虽然处于从属的次要的地位，但是它绝不可以被忽略，它能影响主要变量的取值范围．因此，确定参数的取值范围就成了一个非常重要的问题．参数的取值范围问题涉及知识面广，综合性强，解决方法灵活，且常涉及函数思想、分类讨论、数形结合、转化与化归等重要数学思想．本文主要探讨求参数取值范围的一般方法．

2 参数取值范围问题的一般解法

2.1 直接求解法

直接求解法就是利用不等式的同解原理，视参数为常数，从解不等式入手，先求出不等式的解集（含有参数），再根据题目的具体条件求解参数的取值范围．

例 已知函数，若时，恒成立，求的取值范围．

分析 要使在上恒成立，就是要使在上的最小值大于等于．不妨设在上的最小值为，故只需即可．

而

，

即

从而当时，有

，　

即

，

与矛盾，这是不可能的．当时，有

，

即

，

结合，得

．

当时，有

，

即

．

综上的取值范围是

．

2. 2 判别式法

众所周知，如果一元二次方程有实根，那么判别．我们可以利用这个性质求参数的取值范围，它的基本思路是由已知条件构造一个一元二次方程，然后利用判别式列含有所求参数的不等式（组），从而求出所求参数的取值范围．

例　若不等式对一切恒成立，求的取值范围．

分析　因为

，

所以原不等式可转化为

，

即

，

当时，上面不等式显然成立．当时，要使上面不等式成立，必须有

即

．

综上的取值范围是．

2. 3 换元法

换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，换元的目的是将研究对象的原有问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准化的问题标准化，复杂问题简单化，使问题变得容易处理.

例 二次不等式

的解集为，求的取值范围．

分析 令，则，.于是，原不等式可化为

，

要使上面不等式解集为，必须有

解之得

，

即

，

所以

，

解得的取值范围为

.

2. 4 分离变量法

分离变量就是将参数与未知数分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决．当参数与变量能分离且函数的最值易求出时，利用这种方法就可以顺利解决许多含参数的取值范围问题．

例 设函数，其中是任意实数，是任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求实数的取值范围．

分析 要使当时有意义，只需

在上恒成立.上述不等式等价于

，．

令

，

其中且.

又，，， ， 均为减函数．所以

在上是增函数.故

.

所以的取值范围为

．

　　　注　在运用分离变量求解参数取值范围时，一定要把参数彻底分离开来，在分离变量的过程中，要确保分离前和分离后的定义域不变．有时分离变量后，会将原来的整式函数化成分式函数，而分式函数的值域比较难求，这时就可以考虑换个方法求解．

2.5　变更主元法

当一个不等式中含有两个（或两个以上）变量时，我们常把已知范围的变量看成主变元，而将不知范围的变量看成参变量，若我们将习惯上的主元与参量的“地位”交换一下，变个视角来看问题，则往往可以避免不必要的分类讨论，并使问题降次从而收到事半功倍的效果．变更主元法的思想是转化或化归，这种方法可以将超越不等式转化为代数不等式，将无理不等式转化为有理不等式，将高次不等式转化为低次不等式等．

例 解关于的不等式

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：4755字