论文总字数：5900字

摘 要

关键词：导数，单调性，极值，凹凸性，不等式

Abstract: Derivative is an important concept in calculus, and it has been widely applied in many fields of mathematics．In this paper, we mainly discuss the application of derivative in the extreme and monotony, convexity and inflection as well as proof of inequality．

Keywords: Derivative, monotonic, extreme, convexity, inequality

目 录

0 引言………………………………………………………………………………………………4

1 利用导数研究函数的单调性……………………………………………………………4

2 利用导数求函数的极值和最值…………………………………………………………4

2.1　利用导数求函数的极值………………………………………………………………4

2.2　利用导数求函数的最值………………………………………………………………7

3 利用导数研究函数的凹凸性与拐点………………………………………………… 8

4 利用导数求函数极限………………………………………………………………… 10

5 利用导数证明不等式………………………………………………………………………11

6 利用导数的几何意义解决一些实际问题……………………………………… 13

结论……………………………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………………………… 16

致谢……………………………………………………………………………………………………17

０ 引言

导数是微积分中的一个重要概念，它作为一种解题工具，为处理数学、物理以及其他学科的问题提供了新的途径．本文主要讨论导数在研究函数的单调性与极值、凹凸性与拐点以及证明不等式等问题中的一些应用．

1　利用导数研究函数的单调性

定理1　设函数在区间上可导，则函数在上递增（减）的充要条件是

．

定理2　设函数在区间上可导，则在区间上严格递增（递减）的充要条件是：

（1）对一切，有；

（2）在区间内的任何子区间上．

推论1 设函数在区间上可导，若在区间上，则在上严格递增（严格递减）．

注 若函数在内严格递增（严格递减），且在点右连续，则在上亦严格递增（严格递减），对于右端点亦如此．

由上面的定理可见，可以利用导数的符号来判定函数的单调性．

例1 求的单调区间．

分析 由于

，

因此在上严格递减，在上严格递增．

2　利用导数求函数的极值和最值

2.1 利用导数求函数的极值

定义1 设函数在点的某邻域内有定义，若对一切有

，

则称函数在点取得极大（小）值，称点为的极大（小）值点．极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称极值点．

定理3（费马定理） 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导．若点为的极值点，则必有

．

费马定理给出了可导函数取极值的一个必要条件，它的几何意义为若函数在极值点可导，那么在该点的切线平行于轴．满足方程的点称为稳定点．费马定理告诉我们可导的极值点必为稳定点．另外，不可导点也可能是极值点，例如，函数在处不可导，但为它的一个极小值点．但需要指出，稳定点和不可导点不一定都是极值点，例如，是函数的稳定点，是函数的不可导点，但不是它们的极值点，下面给出函数取值的充分条件．

定理4（极值的第一充分条件）设在点连续，在的某空心邻域内可导．

（1）若当时，当时，则在点取得极小值．

（2）若当时，当时，则在点取得极大值．　

例2 求的极值点和极值．

分析　在上连续，且当时，有

．

易见，为的稳定点，为的不可导点.这两点是否是极值，需作进一步讨论．现列表如下：

由上表可得：点为的极大值点，极大值为；为的极小值点，极小值为．

若为二阶可导函数，还有如下判定极值的充分条件．

定理5（极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.

（1）若，则在点取得极大值．

（2）若，则在点取得极小值．

例3 求的极值点与极值．

分析　

，

，

令，求得稳定点，，而

，

故为的极小值点，且极小值；又

，

故为的极大值点，且极大值．

定理6（极值的第三充分条件）设在点的某邻域内存在直到阶导数，在点处阶可导，且 ，则

（1）当为偶数时，在点取得极值，且当时取极大值，时取极小值．

（2）当为奇数时，在点处不取极值．

例4 试求函数的极值．

分析　由于，因此是函数的三个稳定点．的二阶导数为

，

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