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摘 要

正定矩阵在矩阵理论中占有重要地位，应用的领域也较广.本文主要探讨矩阵正定的相关条件.在简单地介绍矩阵正定性的定义后重点讨论它的有关判别方法.全文分为三个部分，第一部分简单地介绍矩阵的正定性的定义.第二部分给出正定性矩阵的判别方法以及相关应用的实例.最后给出其他一些矩阵正定的条件.

关键词：实对称矩阵，正定矩阵，二次型

Abstract: Positive definite matrix plays an important part in matrix theory, and they are widely used in many fields. This thesis gives some equivalent theorems of real symmetric matrix, and obtains some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix. This thesis is divided into three chapters, the first chapter mainly introduces the definition of qualitative matrix. The second chapter gives the qualitative identification method of the matrix and several examples to illustrate the application of positive definite matrix. The last chapter gives some other ways to judge a matrix.

Keywords: real symmetric matrices, positive definite matrix, quadric form

目 录

1 引言……………………………………………………………………4

2 矩阵正定的概念………………………………………………………4

3 矩阵正定若干判别法…………………………………………………4

3.1 利用定义……………………………………………………………4

3.2 利用顺序主子式……………………………………………………5

3.3 利用主子式…………………………………………………………8

3.4 利用主子矩阵………………………………………………………9

3.5 利用标准型 ………………………………………………………10

4 矩阵正定的其他判别方法 …………………………………………11

结论………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………15

1 引言

二次齐次多项式是一类十分重要的多项式，我们不仅在几何中会应用到它们，而且还会在数学的其他分支以及物理、力学领域中应用到.其中，正定二次型更是占有十分特殊的地位.正定二次型的系数矩阵也就是实对称正定矩阵，它是一类特殊的正定矩阵.下面我们就来介绍正定矩阵的定义和一些证明方法.

2 矩阵正定的概念

定义1^[1] 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定.

3 矩阵正定的若干判别法

3.1 利用定义

例1 设是一正定矩阵，是一非退化实方阵，则也为正定矩阵.

证明 因为是一实对称矩阵，所以也是一实对称矩阵，而且对任何的实非零列向量，对于(其中为非退化矩阵)，因此，即是正定阵.

例2 证明：如果是正定矩阵，那么也是正定矩阵.

证明 先证是实对称阵.因为，所以是实对称得证.

因为为正定矩阵，因此必存在一个逆矩阵.构造一向量，则对于

，有，，有，

对于任意的非零向量，有

，

综上，可证得为正定矩阵.

例3 证明：如果、均是正定矩阵，那么也是正定矩阵.

证明 先证为实对称矩阵.

由题意知，，，所以为对称矩对

于任意一列向量，有，，所以

，所以为正定矩阵.

例4 假设是一个阶的实对称矩阵，那么必存在一个正实数，使得是正定矩阵，其中是一单位矩阵.

证明 矩阵正定的充分必要条件是: 对于任意的非零向量，有，，在全部的中选择一个向量，使得的值最小，，其中，而这时所对应的的值为，而且必大于0，，都为常数，因此必存在一常数，使得，也就是有

，

故可证正定.

注 利用定义证明矩阵正定须注意两点

(1)为实对称矩阵；

(2)对任何的非零实向量，有.

3.2 利用顺序主子式

定理1^[1] 实二次型是正定的，即其所对应的矩阵为正定矩阵的充要条件是矩阵的顺序主子式全部都大于零.

证明 先证必要性.设二次型

，

是正定的，对于每个，，令

.

我们现在来证明是一个元的正定二次型.也就是对于任意一组不全为零的实数，有

，

因此是正定的.由上面的推论，的矩阵的行列式

，

这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.

再证充分性.对作数学归纳法.

当时，

，

由条件，显然有是正定的.

假设充分性的论断对于元二次型已经成立，那么现在来证明元的情形.

令

，,

于是矩阵可以分块写成

.

因为的顺序主子式全大于零，所以的顺序主子式也全大于零.

由归纳法假设，是正定矩阵，换句话说，即有可逆的级矩阵使，这里代表级单位矩阵.

令

，

于是

，

再令

，

有

.

令

，，

就有

.

两边取行列式，得

.

由条件，，因此.显然

.

这就是说，矩阵与单位矩阵合同，因此，是正定矩阵.

例5 判断二次型

是否正定.

证明 的矩阵为

，

它的顺序主子式

，

因之，正定.

例6 判断二次型所对应的矩阵是否正定.

解 二次型的矩阵为

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