论文总字数：4675字

摘 要

积分中值定理是高等数学中的重要内容,可将一个复杂积分化为一个简单的函数值,是数学分析中的基本定理和重要手段,在求极限、判定某些性质点、估计积分值和证明不等式等方面应用广泛, 在理论上有着重要低位，在一些逻辑推证方面也有较多的应用。本文将研究积分中值定理在判定某些性质点、估计积分值、求解一些极限和在证明不等式问题等方面的应用.

关键词: 积分中值定理，估计值，极限

Abstract：Mean value theorem for integrals plays an important part in advanced mathematics, which can turn a complicated integral into a simple function value, and which is a fundamental theorem and a vital tool in mathematical analysis. It is widely used in seeking limits, judging some characteristics, estimating some integral values and proving inequalities, which is of great theoretical significance. It is widely used in logical deduction. This thesis will consider the applications of mean value theorem for integrals in judging some characteristics, estimating some integral values, solving some limit questions and proving inequalities.

Keywords：mean value theorem for integrals, estimate, limit

目 录

1 前言 4

2 积分中值定理 4

3 积分中值定理的主要应用 4

3.1判断某些点存在的问题中运用积分中值定理 5

3.2运用积分中值定理估计定积分的值 6

3.3积分中值定理在求解或者证明一些极限方面的问题 8

3.4积分中值定理在证明不等式方面的应用 11

结 论 13

参考文献 14

致 谢 15

1 前言

积分中值定理是揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法,是数学分析的基本定理和重要的手段. 我们应该仔细观察自然的作用，重视对积分中值定理的使用可以很容易地解决.

2 积分中值定理

积分中值定理 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

.

积分第一中值定理 如果函数在闭区间上可积，且g(x)在上不变号，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

.

积分第二中值定理

ⅰ)如果函数在闭区间上可积，且为单调函数，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

.

ⅱ)如果函数在闭区间上可积，且并是单调递减函数，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

.

ⅲ)如果函数在闭区间上可积，且并是单调递增函数，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立

.

3 积分中值定理的主要应用

积分中值定理的主要应用是可以使积分号去掉,或者使一些复杂的被积函数化为简单的被积函数,从而简化问题.所以,对于所求的极限式中含有定积分,证明题设中含有某个函数积分的等式或者不等式,或者要证的结论中含有定积分时,一般应该考虑运用积分中值定理.

3.1判断某些点存在的问题中运用积分中值定理

某些带积分式的函数，常常有要求判定某些性质的点的存在问题，我们应该仔细观察函数的性质,注意运用积分中值定理就能轻松解决.下面举几个例子说明.

例1 设函数在上连续，在内可导，且3.证明：存在,使.

证明 采用积分中值定理可知，存在（其中，）,

使得

,

即

3，所以.

从罗尔中值定理可以得出，在区间(0,)内至少存在一点c,使得.

易得(0,) (0,1)，得证.

例2 设函数在上连续，在上可微，且，其中.证明：在内至少存在一个点，使.

证明 由积分中值定理知，存在介于与之间),

使

，

由已知条件的等式可知

,

再由罗尔中值定理可知，在区间内至少存在一点，使得=0,

易得 ,得证.

注意 以上两道题就是先运用积分中值定理之后再运用罗尔中值定理可以直接得出结论.

例3 设函数在上连续，且，.证明：在(0,)内至少存在两个不同点,，使.

证明 若，结论显然成立.

假使，由积分中值定理，存在 ，

使

即

若在内只有一个实根，

由可知，在与内异号，设在内,

在内,而在内为单调下降，所以

—=

= ,

与，矛盾，

所以除外，在内至少还有一个实根，

故至少存在两个相异的实根，使,得证.

3.2运用积分中值定理估计定积分的值

在绝大多数积分式中,能找到其被积函数的原函数在进行求值的积分很少,当被积函数“积不出”或者原函数是非常复杂的，可以运用积分中值定理以及各种不等式进行估值，这里给出几种典型的用积分中值定理进行估值的例子.

例1 估计的值.

(法一)解 令，,

显然,满足推广的积分第一中值定理，所以

，,

又

,

所以

，

(法二)解 令 , ,显然,在上可积，

且在上不变号，由积分第一中值定理可知，存在，使

=,

由的取值范围知，0.0050.01，又趋近于0，所以

.

第二种方法更精确一些.

例2 估计的值，并且.

解 因=，令,,

显然,在上连续，在上单调递减，且不为负，

由积分第二中值定理，存在,

使

==

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