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摘 要

：极值问题是一个永恒的课题，在高等数学中，一元函数、二元函数的极值已有了成熟的判别方法，而对于三元及以上函数极值的情形涉及较少。本文从一元函数及二元函数极值着手，探讨三元函数的极值问题，建立了三元函数的极值判别法，然后将其推广到条件极值的情形，并给出了几个应用实例。

关键词：函数，极值，判别，应用

Abstract：Extreme value problem is an eternal topic. In higher mathematics, the extreme values for the monadic functions and two-place functions have mature discriminantmethods. Butfor the situations of functions with three variables and the extreme values of multivariate functions involve less. In this paper,I write from the start of the extreme values for the monadic functions and two-place functions.Then investigating the extremum problems of functions with three variables.With the establishment of the extreme discrimination for the functions with three variables,the conclusion was popularized to conditional extremum.Finally,its application was discussed.

Keywords：function, extremum , distinguish , application

目 录

1 前言……………………………………………………………………………4

2 三元函数极值的概念…………………………………………………………4

3 三元函数极值存在的必要条件和充分条件…………………………………4

3.1 三元函数极值的必要条件…………………………………………………4

3.2 三元函数极值的充分条件…………………………………………………4

4 三元函数极值的求法与应用…………………………………………………7

4.1 三元函数极值的求法………………………………………………………7

4.2 三元函数的条件极值………………………………………………………7

4.3 三元函数极值的应用………………………………………………………7

结论………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………12

致谢………………………………………………………………………………13

1 前言

极值问题在函数研究过程中非常重要．在高等数学中，一元函数、二元函数极值已有了成熟的判别方法，而对于三元及以上的情形涉及较少．本文主要根据三元函数的二阶偏导数，，，，，，得到矩阵，根据该矩阵的正定性，来讨论三元函数的极值问题，并将其推广到条件极值．

2 三元函数极值的概念

设函数定义在区域内，且是该区域的内点．若在点有这样一个邻域使得对于其中一切点都能成立不等式（或）就说函数在点处极大值（或极小值），点称为函数的极大值点（或极小值点）．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．

3 三元函数极值存在的必要条件和充分条件

3.1 三元函数极值的必要条件

定理1 若函数在点存在偏导数,且在取得极值,则有

, ,．

证明 若函数在点存在偏导数,且在取得极值，则当固定，

时，一元函数必定在取相同的极值．同理，一元函数，

在，也取相同的极值．

反之，若函数在点满足上式，则称点为的稳定点．定理1指出：若存在偏导数，则其极值点必是稳定点．但稳定点并不都是极值点．

3.2 三元函数极值的充分条件

定理2 设三元函数在点的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，且是的稳定点．

令，，，，，，及二次型

，

那么

（1）若行列式的各阶顺序主子式都大于零，即

,,．

则函数在点处取极小值．

（2）若行列式满足

，，．

则函数在点处取极大值．

证明 由在的三阶泰勒公式，并注意到条件，对任意的，有

由于的一切二阶偏导数在附近连续，那么有

,

,

,

,

,

．

于是

已知二次型,

故

,

当时，注意到，时，，，，，，，所以存在点的一个邻域，使得在这个邻域内，的符号与的相同；

当时，的符号便取决于的符号了．

下面主要讨论的符号．对于二次型，根据代数知识，有如下等价式：

．

记，因此，问题由讨论二次型的符号转化为讨论矩阵的正、负定问题．

当，二次型为正定，的各阶顺序主子式都大于零，函数在处取极小值；

当，二次型为负定，的各奇数阶行列式值为负，偶数阶行列式值为正，函数在处取极小值．

证毕．

根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理2又可写成如下比较实用的形式：

若函数如定理2所设．是的稳定点，则有：

（i）当，，

时，在点取极小值；

（ii）当，，

时，在点取极小值；

(iii) 当时，在点不能取得极值；

（iv）当时，不能肯定在点是否取得极值．

4 三元函数极值的求法与应用

4.1 三元函数极值的求法

求三元函数的极值可按下述步骤进行：

（1）求出驻点，即满足条件的点

（2）求出函数在点的Hesse矩阵，判定矩阵

正定或者负定．若正定，则在点取得极小值；若负定，则在点取得极大值．

4.2 三元函数的条件极值

以上定理也适用于三元函数条件极值的讨论．

求三元函数在条件下的极值．

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