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摘 要

关键词：函数极值 ， 条件极值 ， 求法

Abstract：The extreme value of function is one of the important contents of mathematics study, so the function extreme problems of the function extreme value has important significance. For this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the normal method, but the use of the Lagrange multiplier method, the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extreme, and the use of directional derivative method.

Key words: the function extreme value, conditional extreme, methods

目录

1引言…………………………………………………………………4 2 一元函数的极值………………………………………………………4

2.1 一元函数的极值的定义……………………………………………4

2.2一元函数的极值第一充分条件……………………………………4

2.3 一元函数的极值第二充分条件……………………………………5

2.4 一元函数的极值第三充分条件…………………………………6 3 二元函数的极值………………………………………………………7

3.1 二元函数极值的定义………………………………………………7

3.2 二元函数取极值的充分条件………………………………………7

4 多元函数()的极值………………………………………………………8

4.1 多元函数极值的定义………………………………………………8

4.2 梯度法求极值………………………………………………………8

4.3海瑟矩阵求极值……………………………………………………9

4.4利用方向导数判断多元函数的极值………………………………10

5 条件极值……………………………………………………………11

5.1代入法求极值………………………………………………………11

5.2拉格朗日乘数法求极值……………………………………………12

5.3柯西不等式法求极值………………………………………………13

结 论……………………………………………………………………15

参 考 文 献……………………………………………………………16

致 谢……………………………………………………………………17

1 引言

函数极值问题在数学学习中是非常重要的一部分，不仅在导数中有所应用，同时研究函数变化形态也必不可少，在微积分研究中也占据重要地位。那到底什么是函数极值呢?

函数极值是一个局部概念，如果一个函数在一点的某一邻域内处处都有确定的值，而以该点的值为最大或最小，则函数在该点处的值就是一个极大或极小值。函数极值问题涉及的函数量比较多，有一元函数，二元函数，多元函数极值或多元函数极值的条件极值，因此，对函数极值的求法做一个比较全面的了解是相当重要的。多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容。对于多元函数，文章将先讨论二元函数。在掌握了二元函数的的有关理论与研究方法后，我们可以把它推广到多元函数中去。在求多元函数无条件极值问题时，我们可以根据极值存在的充分条件来判断是否在驻点处取得极值，而在多元函数条件极值问题的求解过程中，我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后，往往根据问题的实际意义判断函数在该点取得极值.

2 一元函数的极值

2.1 一元函数的极值的定义

定义 设函数在的某领域内有定义，如果对于去心邻域 内的任意,有或，那么就称是函数的一个极大值或极小值。(将改为lt;或将改为gt;,则称为严格极大值或严格极小值).

2.2 一元函数的极值第一充分条件

设函数在处连续且在的某去心邻域U（）内可导.

（1）若(，)时，，而 (,)时，，则为极大值.

（2）若(，)时，，而 (,)时，, 则为极小值.

（3）若U(,)时， 符号保持不变，则在处没有极值.

例1. 求=的极值.

解 先求导数 3

=

=

=

再求出驻点:

当时,.

判断函数的极值如下表所示:

所以在时取极大值且为，在时取极小值且为.

对于一元连续的函数，且在定义域里可导，求极值时可以先根据一元函数极值的第一充分条件，求出驻点，再判断函数的增减趋势，然后求出极大极小值。当然在考虑驻点时，一定要分清是否是函数增减的转折点.

2.3 一元函数的极值第二充分条件

设函数在点具有二阶导数，且=0，≠0，则

（1）当lt;0，函数在点取极大值。

（2）当gt;0，函数在点取极小值。

（3）当=0，其情形不一定.

例2. 求函数的极值.

解 ，由=0得，

的驻点为.

=6

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