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摘 要

导数是微分学中的重要概念，为我们解决函数问题提供了有力的工具。本文在函数、曲线、研究方程的根、证明不等式、数列、求极限、生活和求切线等方面阐述了导数的应用，达到对导数的应用进行归纳和总结。

关键词：导数，应用，单调性，极值和最值

Abstract：Derivative is an important concept in differential calculus, solve the problem of function provides a powerful tool for us. Function and curve, the equation is presented in this paper, the root of inequality proof, sequence, limit, the life and the tangent, expounds the application of the derivative of derivative induction and summary of the application.

Keywords: derivative ,application ,monotonicity, extremum and the most value

目 录

1 引言.........................................................4

2 导数的应用...................................................4

2.1 导数在函数中的应用.........................................4

2.1.1 函数的单调性.............................................4

2.1.2 函数凹凸性及拐点.........................................4

2.1.3 函数的极值和最值.........................................5

2.1.4 求参数问题...............................................6

2.2 导数在曲线中的应用.........................................7

2.3 利用导数研究方程的根.......................................7

2.4 应用导数证明不等式.........................................8

2.5 导数在数列中的应用.........................................9

2.6 利用导数求极限-型和“”型............................10

2.7 导数在生活中的应用........................................11

2.7.1 导数在物理学中的应用....................................11

2.7.2 导数在经济学中的应用....................................11

3.结论.........................................................12

4.参考文献.....................................................13

5.致谢.........................................................14

　

1 引言

导数是研究微积分的核心，是研究函数与自变量的有力工具，它能从更深远的角度对函数的性质进行解析。同时在各个学科中，研究变化率都离不开导数这一概念，同时导数把代数，几何，物理等学科联系在一起，使得各个学科之间相互联系，体现出数学的基础性和重要性。通过导数在解决实际问题中的应用，能反映数学在实际生活中的应用，使数学生活化。同时导数的引入，为研究函数的性质、函数图像开辟了新的途径，成为沟通函数与数列、曲线等问题的一座桥梁，只有深刻理解导数作为一类特殊函数及其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法，才能在其应用上得心应手。而且导数的思想方法和基本理论也有着广泛的应用，在许多问题上起到化繁为简的作用：如求函数单调性、最值、求曲线的的切线、证明不等式、求极限等函数问题等。

2 导数的应用

2.1 导数在函数中的应用

2.1.1 函数的单调性

我们研究函数，首先是研究它的图像变化，就要我们去判断函数的单调性。那么我们如何去利用导数判断函数的单调性的呢？

定理1 设函数在区间内可导，则：

①若时恒有，则在单调递增；

②若时恒有，则在单调递减.

例1 求函数单调性.

分析：要求函数的单调性，先要分析的取值，从入手，来解决此函数的单调性.

解 由题意可知，定义域为R.

因为 ，

当，. 因为；

当，所以.所以.

求导数的单调性一般可用定义法和导数法，有时用求导的方法可以使得解题更加方便.同时要注意是为增函数的充分不必要条件.在解题时应注重数形结合与分类讨论等思想方法相结合.

2.1.2 函数凹凸性及拐点

定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是下凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凸函数）.

定理2 设函数在区间上具有二阶导数，则在上下凸（上凸）函数的充要条件是

.

定义2 若函数在点的左右邻域上凹凸性相反，则点叫做曲线的拐点.

例2 求函数的凹凸区间及拐点.

分析 熟悉函数的凹凸性判断定义及其定理，能正确应用其定理来解决简单的函数问题.

解 因 ，令，得.所以

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