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摘 要

:行列式是高等代数的基本而重要的概念，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及其性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法、范德蒙5种基本方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.

关键词：行列式，代数余子式，矩阵

Abstract : Determinant of higher algebra curriculum content of basic and important one in mathematics and real life has a wide range of applications, know how to calculate the determinant is very important. This paper describes the definition and basic properties of determinant, the determinant of the nature described by calculation of the triangle method, algebraic method, adding edge method (Ascending Order), Vandermonde determinant method of 5 basic calculation methods and mathematical induction, recursion, the use of eigenvalue calculation, the dissolution of entry method, such as the factorization method of 5 special calculation methods.

Key words: determinant,algebraic method,eigenvalue

目录

1 引言 …………………………………………………………………4

2 行列式计算的一般方法………………………………………………4

2. 1 利用行列式的性质计算… ………………………………………4

2. 2 化三角法 …………………………………………………………5

2. 3 代数余子式法 ……………………………………………………5

2. 4 加边法 ……………………………………………………………7

2. 5范德蒙德行列式法…………………………………………………9

3 行列式计算的特殊方法 ……………………………………………11

3.1 数学归纳法 ………………………………………………………11

3.2 递推法 ……………………………………………………………12

3.3 利用矩阵特征值计算 ……………………………………………15

3.4 拆项法 ……………………………………………………………16

3.5 因式分解法 ………………………………………………………17

结论 ……………………………………………………………………18

参考文献 ………………………………………………………………19

致谢 ……………………………………………………………………20

1 引言

行列式是数学中重要的概念，有着重要地位，行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中，现在的应用范围已拓展得较为广泛，成为数学、物理学以及工科许多课程的重要的工具，对这些应用技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义。通过介绍一些具体的实例，说明行列式在证明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用。在数学与现实生活之中有着紧密的联系，后来应用更加的广泛，在一些领域也越来越具有不可替代的作用，所以行列式的计算成为了高等代数的重要内容之一.对行列式进行计算.但是求解高阶行列式就应该根据其具体特点采用不同的计算方法，本文对这一类行列式的解题方法进行了总结归纳.并详细地介绍的5大类一般方法和5大类特殊方法.

2 行列式的计算的一般方法

基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法.

2.1 利用行列式的性质计算

例1 一个阶行列式的元素满足 则称为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.

证 由知，即

故行列式可表示为

， 由行列式的性质，

=

当为奇数时，得=，因而得 = 0.

利用行列式的性质，巧妙的解决此题.

2.2 化三角形法

此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号 .

例2 计算阶行列式

解

此题对阶行列式转化为上三角矩阵，则行列式的值为对角线的元素之积.

2.3 代数余子式法

在一个级行列式中,把元素所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成的一个阶行列式,称为元的余子式，带上符号称为的代数余子式,记作

定理1 行列式等于其第 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即

证 先证特殊情况元素位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;

而,故;

（2）

将中第行依次与前行对调，调换次后位于第一行;

将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列;

经次对调后，就位于第一行、第一列，即

.

(3) 一般地

同理有:

.

例3 计算四阶行列式 .

证 按第1行展开，有

,

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