论文总字数：4896字

摘 要

柯西中值定理是微积分的三大微分定理之一，它较之罗尔定理、拉格朗日中值定理更具有一般性．本文用三种不同的方法证明柯西中值定理，并对柯西中值定理的应用进行初步探究，着重介绍其在求极限、证明不等式与等式、证明函数一致连续性等方面的应用．

关键词: 柯西中值定理，证明，应用

Abstract: Cauchy mean value theorem is one of the three differential theorem of calculus, which is more general than the Rolle theorem and Lagrange mean value theorem. we use three different methods to prove the Cauchy mean value theorem and study its application preliminarily. Then we focuse on the limitsolving, proof of inequality and equality, proof of uniform continuity of a function and other aspects of the application．

Keywords: Cauchy mean value theorem, Proof, Application.

目 录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 柯西中值定理的证明…………………………………………………………4

2.1利用同增量性证明柯西中值定理……………………………………………4

2.2利用行列式法证明柯西中值定理……………………………………………5

2.3利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理……………………6

3 柯西中值定理的应用…………………………………………………………7

3.1柯西中值定理在求极限中的应用……………………………………………7

3.2柯西中值定理在证明不等式与等式中的应用………………………………8

3.3柯西中值定理在证明函数一致连续性中的应用……………………………9

参考文献…………………………………………………………………………11

致谢………………………………………………………………………………12

1 引言

柯西1789年8月21日出生于法国巴黎，他是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷．著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》．这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范．

柯西中值定理是微积分的三大微分定理之一，其重要性不言而喻．它给出了区间内一个中间点的中值结果，而较之罗尔定理和拉格朗日中值定理更具有一般性．在众多的数学分析教材中，它们一般都是通过做辅助函数，用罗尔定理来证明柯西中值定理.对此定理的应用也仅局限于证明洛必达法则及泰勒公式，而对柯西中值定理的广泛应用涉及太少。

本文首先介绍了柯西中值定理的定义，随后利用同增量性、行列式法、反函数及拉格朗日中值定理三种不同的方法证明柯西中值定理.此外，还对柯西中值定理的应用做了初步探究，主要介绍了其在求极限、证明不等式与等式、以及证明函数一致连续性等方面的应用.

柯西中值定理 设函数与满足

（i）在上都连续；

（ii）在内都可导；

(iii)和不同时为零；

　　　　　　 (iv)，

则存在一点，使得．

特别地，当时，它就是拉格朗日中值定理.因此，柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广.

2 柯西中值定理的证明

2.1 利用同增量性证明柯西中值定理

引理1 在同一闭区间上连续且在其内部可导的两个函数，若在这一区间上有相同的增量，则在这区间内至少存在一点，使这两个函数在该点的导数值相等.

证明 由题设，在上连续，在内可导，且.

则也在上连续，在内可导，且，即，故满足罗尔定理条件.则在内至少存在一点，使.即与在点的导数值相等.

下面证明柯西中值定理：

　　证明　由题设、在上连续，在内可导.且在内每一点均不为，则与在上连续，在内可导，且具有相同的增量.

由命题知，在内至少存在一点，使.

由拉格朗日中值定理知，，，而，，故.从而，.

2.2 利用行列式法证明柯西中值定理

证明 构造辅助函数，令

，

则由，在上连续，在内可导知，在上连续，在内可导，且　　　　　=0，=0.

根据罗尔定理可得，，使得：

0=

=

=，

故　　　　　．

2.3 利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理

既然柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，那么，能不能从拉格朗日中值定理出发，来导出柯西中值定理呢？回答是肯定的，证明如下：

证明 先证.用反证法，假设，由罗尔中值定理知，，使得，这与，矛盾．或由拉格朗日中值定理知，，使得，故，记，，可知.

因为，有，所以可知在内要么恒大于0，要么恒小于0，实际上，若存在，，不妨设lt;，使lt;0,而gt;0,则由达布定理可知必存在，使，这与已知条件矛盾.因此在内始终有gt;0或lt;0.

不妨设gt;0，则在上是严格单调增加函数，由反函数存在定理、反函数的连续性定理以及反函数的求导法则可知：在上，的反函数（记为）存在并单调连续，且在内可导，其导函数.

令， ，

则有，，

因为是由与复合而成，根据复合函数连续性及求导法则，可知 在上连续，在内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，且

对在上应用拉格朗日中值定理，则可知在开区间内至少存在一点，使：

，lt;lt; ④

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