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摘 要

不等式和微积分在数学中占据着极为重要的地位.本文在梳理了不等式证明的一般方法之后，归纳总结了运用微积分理论证明不等式的方法，对微分和积分两个方面分别进行了探究.对每一种方法，在介绍过相关知识点后，阐述解题的一般步骤.最后通过例题的形式将其具体的应用展现出来.

关键词：不等式证明，微积分理论，方法

Abstract: Inequality and calculus occupies an extremely important position in mathematics. In this paper, first of all we sum up the common methods of inequality proof, then summarizes the methods of inequality proof that using the theory of calculus, and carry on the exploration separately for the two aspects of differential and integral. For each method ,after introducing the relevant knowledge, we expound the general steps of problem solving. At last, through examples, its specific application will be shown .

Key words: the proof of inequality, calculus theory, methods

目 录

1 引言…………………………………………………………………3

2 不等式证明的常见方法……………………………………………3

3 利用微分证明不等式………………………………………………3

3.1 导数定义证明法…………………………………………………3

3.2 函数的单调性证明法……………………………………………4

3.3 函数的最值和极值证明法………………………………………5

3.4 拉格朗日中值定理证明法………………………………………6

3.5 柯西中值定理证明法……………………………………………7

3.6 泰勒公式证明法…………………………………………………8

3.7 函数凹凸性证明法………………………………………………9

3.8 幂级数展开式证明法……………………………………………10

4 利用积分证明不等式………………………………………………11

4.1 定积分定义及性质证明法………………………………………11

4.2 积分上限函数（原函数法）证明法……………………………12

4.3 Cauchy-Schwarz不等式证明法…………………………………12

4.4 M.H.Young不等式证明法………………………………………14

结论 ……………………………………………………………………15

参考文献 ………………………………………………………………16

致谢 ……………………………………………………………………17

1 引言

高等数学中研究的不等式，一般可分为以下两类:函数不等式与数值不等式.对这两类不等式也有比较规范的处理方法，前者，一般的方法是通过构造或变形新的函数，有时也可以直接使用现有的函数，再对函数的性质运用微积分的相关理论进行考察，以证实不等式；后者，其实就多了一个寻找辅助函数的步骤，归根结底都是函数问题.

通过上面的分析对很多不等式证明问题处理的突破口常常是怎么恰当的使用微积分理论.本篇论文在介绍了微积分的概念性质和证明不等式的常见方法后，概括归纳了如何利用微积分证明不等式，并对一些技巧和具体的方法做了总结，通过对微积分的利用能让我们看到它在证明不等式中的长处.

2 不等式证明的常见方法

常用的证明不等式的方法主要包括：差值法；商值法；综合法；分析法；换元法；反证法；放缩法，因为这些方法都比较基础，在这里就不做赘述.

随着不等式的不断发展与变形，对不等式证明方法拓展的要求也日益迫切.而架构辅助函数便是一种很好的途径，依据不等式的构造特征进行转化，将证明问题转变为函数问题，再使用微积分工具研究函数性质，实现不等式证明.

3 利用微分证明不等式

微分证明不等式的方法主要有利用导数定义，函数的单调性、极值、最值，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式，函数的凹凸性等．以下是这些方法的细节.

3.1 导数定义证明法

导数定义法对题目条件的要求十分苛刻，所以适用范围不是太广.

定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，若极限

存在，则称函数在可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作．

利用导数定义证明不等式的步骤：

(1) 找出，使得恰为结论中不等式的一边；

(2) 联系已知条件并运用导数定义进行解答．

例1 设函数，其中都为实数，为正整数，已知对于一切实数，有，试证：．

证 因,则．

得

由于，所以

即

适用范围：因为是利用定义，所以要仔细观察问题中条件与结论间的关系．当不等式符合导数定义，或可转化为导数定义的形式时，才能将导数定义法的优势发挥出来.

3.2 函数的单调性证明法

单调性是函数的重要特性，经常被应用到不等式证明当中，不同于导数定义法对定义的直接运用，单调性则是间接的运用导数证明不等式的.

定理1 设函数在上连续，在内可导.

(1) 如果在内，那么函数在上单调递增；

(2) 如果在内，那么函数在上单调递减.

利用函数的单调性证明不等式的步骤：

(1)构造适当的辅助函数.构造辅助函数方法一般是通过移项的方法，即把不等式的右端项移到另一边，使右边为零，则左边就是我们要求的函数；

(2)求在所给区间上的一阶导数，判别一阶导数在此区间上的符号，或求出在所给区间端点的值或极限，得出结论．

例2 求证：.

证 设辅助函数.易知在上连续，且有

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