论文总字数：4244字

摘 要

文章从多个角度挖掘并证明了幂零矩阵的很多性质，并列举了幂零矩阵在解决矩阵问题中的广泛应用，充分体现了幂零矩阵在解决矩阵问题中的重要作用，这对于我们解决相关代数问题具有很大的帮助。

关键词：幂零矩阵，性质，判定，应用

Abstract： In this paper, we find characteristics of nilpotent matrix in many different respects, and explain its extensive application by many examples fully. It shows us the importance of the nilpotent matrix in solving lots of other matrix problems effectively. It will also help us solve some problems of algebra.

Keywords: nilpotent matrix, characteristic, judgment, application.

目 录

1前言 4

2幂零矩阵的定义 4

3幂零矩阵的性质 4

4幂零矩阵的判定 6

5幂零矩阵的应用 7

6结论 11

参考文献 12

致 谢 13

1、前言

代数学中关键的一个知识点就是矩阵，而幂零矩阵又是一种非常重要的矩阵，文章从多个角度挖掘了其很多性质并进行了相关的证明，由通过几个定理和引理研究了幂零矩阵的几种判定方法，另外也列举了幂零矩阵在解决矩阵问题中的广泛应用，充分体现了幂零矩阵在解决矩阵问题中的重要作用，这对于有效解决代数问题也有举足轻重的作用.

2、幂零矩阵的定义

定义 设矩阵是阶矩阵，若存在正整数，使得，则称是幂指数为的幂零矩阵.

例 矩阵是一个三阶矩阵，由于，

故矩阵是幂零指数为2的幂零矩阵.

3、幂零矩阵的性质

3.1引理

哈密顿-凯莱定理 设是数域上一个阶矩阵，是的特征多项式，则

.

证明 略.

3.2 性质

性质1 一个数乘幂零矩阵是幂零矩阵.

证明 设矩阵是阶幂零矩阵，则存在正整数,使得，

，

所以矩阵是幂零矩阵.

性质2 幂零矩阵的次幂是幂零矩阵.

证明 设矩阵是阶矩阵，若存在正整数，使得，

则.

性质3 与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零矩阵.

证明 设矩阵是幂零矩阵，即存在正整数，使得,

已知矩阵可逆，则矩阵是矩阵的相似矩阵，

，所以矩阵是幂零矩阵.
性质4 幂零矩阵都不可逆.

证明 设矩阵是阶矩阵，若存在正整数，使得.假设矩阵可逆，则故也可逆.

这和矛盾，所以幂零矩阵都不可逆.

性质5 若矩阵是幂零矩阵，那么矩阵不可逆，但矩阵和矩阵均可逆，其中矩阵是单位阵.

证明 由，可知=0，所以，故不可逆.

由于

当时，分别可得，可逆.

性质6 幂零矩阵的所有特征值都是零，所有特征值都为零的矩阵一定是是幂零矩阵.

证明 设矩阵是阶矩阵，若存在正整数，使得，设是矩阵的任一特征值，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，有，等式两边分别左乘矩阵，那么就有，所以，所以.

如果矩阵的特征值全等于零，由哈密顿-凯莱定理知，=0，根据幂零矩阵的定义可知，矩阵是幂零矩阵.

性质7 幂零矩阵的转置和伴随矩阵都是幂零矩阵.

证明（1）设矩阵是阶矩阵，若存在正整数，使得，

所以，因此，所以矩阵是幂零矩阵.

（2）由于矩阵是幂零矩阵，那么，所以.

当，由于矩阵的所有特征值均为零，所以存在可逆矩阵，使得

故,根据的特征值全为零，可知的特征值也全为零，故矩阵是幂零矩阵.

性质8 阶方阵为幂零矩阵的充要条件是对任意自然数，都有的迹为0，即.

证明 [充分性]设矩阵的特征值为，其中，则的特征值为，其中，所以，假设矩阵的特征值中有不等于0的特征值，我们不妨设为其中互异的特征值，其中，为相应的重数，则我们可以将上式看做关于变量其中，的其次线性方程组，有

,

故 矛盾，所以矩阵的特征值全为零.所以矩阵为幂零矩阵.

[必要性]由于矩阵是幂零矩阵，所以矩阵的特征根全为0，其中，从而由于任意的自然数,的特征根，其中，所以.

性质9 设矩阵、是幂零矩阵，若，则矩阵与矩阵均为幂零矩阵.

证明 （1）给出矩阵、是两个幂零矩阵，假设是矩阵A的幂零指数，是矩阵的幂零指数.

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