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摘 要

关键词：分类讨论，思想方法，中学数学，应用

Abstract：Classified discussion is a basic thinking and method, and it play an important role in mathematics. This paper talks about the principles and steps of classified discussion when we use the method, and examples the application about the classification discussed in middle school mathematics.

Keywords: classified discussion, thinking and method, middle school mathematics, application

目 录

1 引言 …………………………………………………………………4

2 分类讨论思想的有关概念 …………………………………………4

2.1 数学思想方法…………………………………………………4

2.2 分类讨论思想方法……………………………………………5

3 分类讨论思想的原则及步骤 ………………………………………5

3.1 分类讨论思想的原则…………………………………………5

3.2 分类讨论的一般步骤…………………………………………6

4 分类讨论思想在中学数学中的应用 ………………………………6

4.1 分类讨论思想在方程中的应用………………………………6

4.2 分类讨论思想在平面几何中的应用…………………………7

4.3 分类讨论思想在函数中的应用………………………………8

4.4 分类讨论思想在集合中的应用………………………………9

4.5 分类讨论思想在不等式中的应用……………………………10

4.6 分类讨论思想在数列中的应用………………………………11

4.7 分类讨论思想在其他问题中的应用…………………………13

5 小结 …………………………………………………………………14

6 参考文献 ……………………………………………………………15

7 致谢 …………………………………………………………………16

1 引言

我们都知道，数学教学中，对数学思想的理解远比运用某个具体的知识点来解题来得重要，知识的生成过程，实质上也是数学思想方法渗透的过程.所以说数学思想的渗透是在具体知识的学习过程中表现出来的.中学数学中最常见的数学思想主要有：函数方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想。近年来，中、高考题中对一些数学思想的考查越来越多。分类讨论思想的应用也成为近几年中、高考中的热点.

初中数学中有很多体现分类讨论思想的知识点，我们在代数和几何当中都能找到它们，同时它们也分布在概念定义、定理证明、运算法则、图形性质和具体问题的解决中.分类讨论思想贯穿于整个初中数学的教学，对培养学生缜密的思维，提高学生周全、仔细地分析问题和解决问题的能力起到相当关键的作用，因此分类讨论思想在初中数学中占有重要地位.

分类讨论思想同样是贯穿整个高中数学的重要的数学思想方法，同时是高考的考试大纲中明确要考的数学思想方法，已经成为高考数学复习中的一个热点和难点。高中数学在知识点的难度上相对于初中数学有了不小的提升，分类讨论思想的运用对学生的要求也更加的严格.最近几年高考试题中，分类讨论思想的运用比较多，不仅仅局限于一道题，往往贯穿试卷始末，从近几年高考试题学生的答题情况看，分类讨论题目的得分率很低，学生出错的原因大多是不知道什么时候分类和怎样分类，在分类的过程中存在着重复和遗漏的现象.所以探究分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的.

2 分类讨论思想的有关概念

2.1 数学思想方法

数学思想是指人们对数学理论和数学内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别在于数学思想相对于数学方法来说处于更高层次，它来源于数学的基础知识和常用的数学方法。通常混称为“数学思想方法”.

本文讨论的分类讨论思想方法同样也是分类讨论思想和分类讨论方法的统称.

2.2 分类讨论思想方法

人们在面对比较复杂的问题时，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐项进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论思想方法.

分类讨论思想方法体现了化整为零、积零为整与归类整理的思想。与分类讨论思想有关的数学问题往往具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能够训练人的思维的条理与概括性.用分类讨论的思想方法，把问题进行分类与整合，当确定分类标准后相当于增加了一个已知条件，可以将一个大问题分解为好几个小问题，优化了解题思路，同时降低了问题难度.应用分类讨论的思想方法对问题进行求解， 首先要明确的是讨论对象，确定对象的主体；其次是确定分类的标准，分类时要分层次，做到不重复，不遗漏；最后还要反思整个分类过程，从中发现“分”与“合”，“局部”与“整体”之间辨证统一的关系，充分挖掘所求解的具体问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论，使解题思路的清晰程度得到进一步提升，让解题的过程更加地合理简洁.

3 分类讨论思想的原则及步骤

3.1 分类讨论的原则

分类讨论的一般原则有：

1、同一性原则：分类应该按照同一个标准进行，也就是每次分类不能同时使用几个不同的分类依据；

2、互斥性原则：分类后的每个子类应当互不相容，做到各子类之间相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子类，又属于另一子类；

3、相称性原则：分类应当相对称，即划分后子类外延的总和（并集）应当与母类的外延相等；

4、层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是指对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后得到的子类作为母类，再进行分类，直至满足需要为止，应用多级分类时要注意依次分类，不能越级分类.

3.2 分类讨论的一般步骤

分类讨论的一般步骤为：

1、确定题目中讨论的对象以及被讨论的范围；

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