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摘 要

本文讲述了判别正项级数敛散性的方法.在学习正项级数定义和基本性质的理论基础上，对正项级数敛散性判定的方法进行归纳和总结.其中总结了正项级数的一般判别方法，还研究了高斯判别法、Kummer判别法等其他判别方法及其应用.

关 键 词 : 正项级数，敛散性，判别法

Abstract : In this paper, we describe the judging of positive series convergence methods. In the study of the definition and basic properties of positive term series based on the theory of screening, we summarize the methods of convergence and divergence of positive series. The paper summarizes the positive series general judging method , also studies Gauss judging method, Kummer judging method and other judging methods and its application.

Keywords : positive term series , convergence , judging method

目 录

1. 引言……………………………………………………………………3

2. 正项级数的定义………………………………………………………3

3. 正项级数收敛性的一般判别原则……………………………………3

3. 定义法…………………………………………………………………3

3.2 比较判别法…………………………………………………………3

3.3 比式判别法…………………………………………………………4

3.4 根式判别法…………………………………………………………6

3.5 积分判别法…………………………………………………………8

3.6 拉贝判别法及其等价形式…………………………………………8

4. 高斯判别法及其等价变形……………………………………………11

5. Kummer 判别法 ………………………………………………………13

6. 其他判别法……………………………………………………………15

结论 ………………………………………………………………………18

参考文献 …………………………………………………………………19

致谢 ………………………………………………………………………20

1 引言

级数理论是数学分析中一个重要的理论，它是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要手段，也是表示已知函数，对已知函数的逼近的一种有效方法.在近似计算中发挥着重要作用.我们在定义定积分概念的同时，引进变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除初等函数以外的函数类；有了级数理论之后，使我们的眼界更加开阔了，让我们的应用更普遍了，认识到了更广泛的非初等函数类型.级数理论的应用其实不只是在于引入非初等函数，更重要的是给出了探究这些函数的有效方法，并且即使是初等函数，有时给出了它们的级数形式，也会更便于我们研究它们的性质.

正项级数在级数中是最基本的，同时也是十分重要的一种级数，而判断正项级数敛散性是研究正项级数的主要问题.

2 正项级数的定义

若级数各项的符号都相同，则称为同号级数.而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.

3 正项级数收敛性的一般判别原则

3.1 定义法

定理1 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数,对一切正整数有.

证 由于对，，故是递增的，因此，有

收敛收敛有界.

3.2 比较判别法

定理3.2（比较原则） 设和均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对都有

，

则

（1）若级数收敛，则级数也收敛；

（2）若级数发散，则级数也发散.

推论 设和均为正项级数，若

则

(1)当时，级数、同时收敛或同时发散；

(2)当且级数收敛时，级数也收敛；

(3)当且级数发散时，级数也收敛.

3.3 比式判别法

定理3.3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设为正项级数，且存在某个正整数及常数：

（1）若对，有，则级数收敛 ；

（2）若对，有，则级数发散.

推论1（比式判别法的极限形式）设为正项级数，且

，

则

（1）当时，级数收敛；

（2）当（可为）时，级数发散；

（3）当时，级数可能收敛，也可能发散.如：，.

若某级数的式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别.

推论2 设为正项级数.

(i)若，则级数收敛；

(ii) 若，则级数发散.

证 (i)由知，对任意,存在，使得当时有

由比式判别法知，则级数收敛；

(ii)由知，对任意，存在，使得当时有

由比式判别法知，则级数发散.

3.4 根式判别法

定理3.4（柯西判别法，或称根式判别法）设为正项级数，且存在某个正整

数及正常数，

（1）若对，有 ，则级数收敛；

（2）若对，有 ，则级数发散.

推论1（根式判别法的极限形式）设为正项级数，且

，

则

（1）当时，级数收敛；

（2）当（可为）时，级数发散；

（3）当时，级数可能收敛，也可能发散.如：，.

推论2 设为正项级数，且

　　　　　　　 ，

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