论文总字数：6251字

摘 要

关键词：凸函数，性质，詹森不等式

Abstract: Firstly, we illustrate the definition of convex function. And then introduces the judgement theorem of convex function and wide application of Jensen"s inequality, and the properties of convex function are given. Finally, the role of convex function in proving inequalities is shown by some examples , through examples can help us analyze the basis to solve the problem. we show the proof of some common inequality, and learn the concrete form of some commonly used convex function.

Key words : convex function, property, Jensen"s inequality

目录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 凸函数的等价定义 …………………………………………………………4

3 凸函数的判定定理……………………………………………………………5

4 凸函数性质 …………………………………………………………………7

5 凸函数在证明不等式中的应用………………………………………………7

结论………………………………………………………………………………16

参考文献…………………………………………………………………………17

致谢………………………………………………………………………………18

1 引言

凸函数是一类常见的重要函数，它的概念、性质等被广泛应用到了很多数学研究．比如在数学分析、泛函分析、最优化理论以及数学经济学等学科领域当中的运用．其中经常使用的两种凸函数是上凸函数和下凸函数，上凸函数（也称为凹函数），由图象能够知道此类曲线上任意两点间弧线段始终在这两点直线段的上面，也就是曲线总处于每一点切线下面；另一种叫下凸函数，也就是曲线上任意两点间的直线段总在这两点弧段的上面的函数，也可以说该曲线总处于每一点切线的上面．根据凸性可以推理出凹形，在解决实际问题时，就可以运用此转化思想．本文简要论述了下凸函数（简称凸函数）的概念、性质及其等价关系、判定定理等，及其在证明不等式中的应用.

2 凸函数的等价定义

定义1 若函数对于区间内的任意以及，恒有

，

则称为区间上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的直线段总是在此两点曲线的上面．

定义2　若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有

，

则称为区间上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间直线段的中点总在曲线上相应点()之上．

定义3　若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有

，

则称为区间上的凸函数．

其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下．

以上三种定义中，定义3要求在内是可导的，定义2要求在上是连续的．而定义1对函数则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数在上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数是可导的，就没有提出．若是再加之此函数可导的，它就可以证明这三个定义之间是能互相推出的，也就是它们之间是相互等价的.

　 定义4 设函数在区间上有定义,,且,,

成立，称是区间上的凸函数.

定义5 设函数在区间上有定义,,且,，

成立，称是区间上的凸函数.

定义6 设为非空凸集，,，若

.

则称是上的凸函数.

定义7 设函数在区间上有定义,，

有

成立，称是区间上的凸函数.

3 凸函数的判定定理

定理1 设在区间上有定义,那么下面四个条件是相互等价的（ 对它们取的限制条件是 保持成立）：

（ⅰ） 在上为凸函数 ；

（ⅱ） ；

（ⅲ） ；

（ⅳ） ；

推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有.

推论2 若在区间上的凸函数，则过的弦的斜率 是的增函数（若为严格凸的,则严格增）.

推论3 如果是区间I上的凸函数，那么取上任意四点有.

定理2 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充分必要条件是

.

在实际应用中，如果我们依据定义去验证一个函数是否是凸函数，会感觉到特别的繁琐、复杂．这时候如果能利用判定定理去判断，就会简单容易的多．所以在证明一些不等式时，首先要利用判定定理去证明是凸函数，然后再根据凸函数拥有的性质等证明出原不等式，所以针对符合条件的一类问题，只要巧妙地构造出凸函数，就可以轻松、快捷地解决问题，此时构造出的相应凸函数就起到了转化、链接的作用，加深了不等式与函数的内在联系，体现出凸函数在不等式证明中的巨大作用．

定理 (Jensen不等式)　设函数在上处处二次可微，且 (对任意，则为上的凸函数，即对任意，及成立如下不等式

这个不等式就被称为詹森不等式，它是凸函数性质的深化体现，同时也是它定义的推广和扩展，为不等式的证明准备了直接的依据材料，也提供了更多的理论资源．可以这么说，在不等式证明中，Jensen不等式是凸函数特性的代表，是解决问题的主力军，有着更广泛的应用，存在着更宽阔的价值前景。由于任意凸函数一定存在与之匹配的詹森不等式，所以它得到了极广的应用，特别是在证明不等式时．通过它就能快速证明出我们常见的重要不等式，为不等式的证明开创了一条新途径．

注：通过判定定理，经过简单的求导、分析、断定，知道下面的函数在它们的定义域上都是凸函数，故必然都符合詹森不等式．

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