论文总字数：4819字

摘 要

：本文针对求解矩阵方程的问题，首先给出矩阵方程有解条件，在有解的情况下总结一般矩阵方程当系数矩阵满足不同的条件时的求解方法.如果系数矩阵可逆，则可以左乘或右乘逆矩阵的方法求得未知矩阵；如果方阵不可逆或系数矩阵不是方阵，则需要用待定元素法或迭代方法求解未知矩阵.最后，讨论了求解矩阵方程AXB=C的一种迭代方法的运用，同时给出了计算步骤以及相关实例.

关键词：矩阵方程,系数矩阵,可逆矩阵, 约束矩阵方程

Abstract: In this paper,aiming at the problem of solving matrix equation, we first gave the conditions of matrix equation solution and concluded the methods to solve the general matrix equation under above conditions when the coefficient matrix met the different conditions. If the coefficient matrix were invertible, we could left multiply or right multiply inverse matrix to solve the unknown matrix. If the coefficient matrix were not aquare matrix or not invertible, we used undetermined element methods or escalator methods to solve the unknown matrix. At last we discussed the application of an escalator method solving matrix equation AXB=C, gave the calculation steps and related examples.

Keywords: matrix equation, coefficient matrix, invertible matrix, restricted coefficient matrix

目录

1 引言4

2 预备知识 4

3 几类矩阵方程的求解 5

3.1求解矩阵方程 5

3.2求解矩阵方程 6

3.3求解矩阵方程7

结论14

参考文献 15

致谢16

1 引言

矩阵是线性代数中的最重要的部分，它贯穿于线性代数的始终，可以说线性代数就是矩阵的代数，矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。矩阵方程是矩阵运算的一部分，掌握简单的矩阵方程的求法，对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。对于本文所研究的AX=B、XA=B、AXB=C这三类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究，谢世伟, 张明虎，郭际军，王维宝都在相应的文献中给出了相关的结论.矩阵方程在计算数学、量子力学、计算机安全、自动控制理论、系统识别、振动理论、图像处理等领域有着广泛的应用.

本文针对这三种方程以及系数矩阵满足不同条件的情形总结了矩阵方程求解的几种方法.若系数矩阵可逆，则求出它的逆矩阵,以左乘或右乘逆矩阵的方法求得未知矩阵；若系数矩阵不是方阵或不可逆，则用待定系数法或迭代方法求解.利用文献[8]借助于适当分裂求解约束线性方程组的迭代方法，给出约束矩阵方程的迭代求解方法.本文也给出了计算实例.

2 预备知识

定义由个数()排成行列的数表

叫做行列矩阵，简称矩阵．其中个数叫做矩阵的元素，叫做矩阵的第行第列元素．

定义2数域上的矩阵称为非退化的，如果||0；否则称为退化的．

定义3 级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得，这里是级单位矩阵.

定义4 如果矩阵适合，那么就称为的逆矩阵．记为．

定义5所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.

3 几类矩阵方程的求解

3.1求解矩阵方程:

定理1 设是矩阵，是矩阵，表示的秩，

矩阵方程无解，当且仅当

矩阵方程有解，当且仅当，设这个共同秩为，那么：

当时，该矩阵方程有唯一解.

当时，该矩阵方程有无穷多解.

解法一：如果是可逆方阵(矩阵可逆的充分必要条件是矩阵是非退化的)则求解时需要找出矩阵的逆,由即可求得,然后计算矩阵乘法,得出结果：

解法二：由,从而得到结果

例1 解矩阵方程=

解：设=，=

故

解法三：（待定元素法）设未知矩阵的元素为，即，然后由所给的矩阵方程列出所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素，从而得到所求矩阵.

例2 解矩阵方程=

解：利用待定元素法，先确定的行数等于左边矩阵的列数3,的列数等于右边矩阵的行数2，则是的矩阵．

设=，则=

即= 解得(,为自由未知量）

所以=，其中，为任意实数.

3.2 求解矩阵方程：

定理2设矩阵，矩阵，矩阵方程无解当且仅当，矩阵方程有解当且仅当．设这个共同秩为，那么：

当时，该矩阵方程有唯一解．

当时，该矩阵方程有无穷多解．

解法一：如果是可逆方阵(矩阵可逆的充分必要条件是矩阵是非退化的)则求解时需要找出矩阵的逆,然后计算，得出结果：=

解法二：由,从而得到结果

例3 解矩阵方程,其中,

解：=

故=

解法三：待定元素法类似于的解法

解法四：将矩阵方程转置得求出,从而可得.

例4 求解矩阵方程=

解：将矩阵方程转置得

解得 则

3.3 求解矩阵方程：

定理3设是矩阵，是矩阵，是矩阵，那么矩阵方程有解，当且仅当，.

解法一：如果、是可逆方阵(矩阵可逆的充分必要条件是矩阵是非退化的)则求解时需要找出矩阵、的逆,它的解为

如果、是可逆方阵，则此矩阵方程的解可以通过下列矩阵的初等变换得到：

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