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摘 要

导数是数学学习中的重要内容，自从被引入高中数学教材以后，与导数有关的问题就成为了历年高考中的热点内容，本文主要对导数在中学数学应用中的几个方面进行了详细的归纳和总结，摘取近几年的高考试题和一些例题来探究导数在几何、函数、不等式证明，以及实际生活中的应用．

关键词：导数，中学数学，应用

Abstract:  The derivative is the important content in the study of mathematical. Problems related to mathematics derivatives have become a hot point in College Entrance Examination since it has been added to mathematics text book of senior middle school. This paper focuses on derivatives carried out in middle school mathematics in several aspects and summarized in detail. I extract the College Entrance Examination in recent years, and some examples to explore the applications of derivative in geometry, functions, inequalities proof, and real-life.

Key words: Derivative, middle school mathematics, application

目录

1前言…………………………………………………………………………………4

2导数…………………………………………………………………………………4

2.1导数的定义…………………………………………………………………………4

2.2导数的几何意义……………………………………………………………………4

2.3利用定义求在点处的导数的三个步骤……………………………5

3 导数在中学数学中的重要性……………………………………………………5

4 导数在中学数学中的若干应用……………………………………………………6

4.1导数在几何中的应用…………………………………………………………………6

4.2导数在函数中的应用……………………………………………………7

4.2.1判断函数的单调性……………………………………………………7

4.2.2求函数的极值……………………………………………………………………8

4.3导数在不等式证明中的应用……………………………………………………10

4.4导数在实际问题中的应用……………………………………………………10

结论…………………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………………14

1 前言

导数的出现，为解决中学数学中的一些问题提供了新的方法，在中学数学教材中处于一种特殊的地位，它起到承上启下的作用. 许多初等数学不能解决或难以解决的问题，通过建立数学模型，把初等数学中的问题变为函数问题，利用函数的思想并运用导数研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性，使问题的解决有更广泛的思路. 本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨、研究，拓宽学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力．

为了更好的阐述导数在中学数学中的应用，本文将从如下两部分进行说明：第一部分先介绍导数的定义、几何意义及求导数的步骤，第二部分概述导数在中学数学中的重要性，第三部分阐述导数在中学数学中若干应用，并通过举例近几年的高考题进行说明.

2 导数

2.1 导数的定义

设在点内有定义，且当自变量在点有一增量（仍在该领域中）时，函数有相应的增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为即

.

2.2 导数的几何意义

函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线斜率，即. 故相应地曲线在点，的切线方程为：

.

如图，设为曲线上的一个定点，为曲线上的一个动点，设沿曲线逐渐趋向于点时，并且割线的极限位置存在，则称为曲线在处的切线，若曲线为函数的图像，那么切割线的斜率为：

.

当处的切线，即的极限位置存在时，此时则的斜率为：

.

上式与导数的定义完全相同，也就是说，因此，导数的几何意义即曲线在点处切线的斜率.

2.3 利用定义求在点处的导数的三个步骤

（1） 求函数的增量； 

（2） 求平均变化率；

（3） 取极限求导数.

3 导数在中学数学中的重要性

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻.

(1）有利于学生更好地理解函数的性态

在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．

（2）有利于学生更好地掌握函数思想

数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．

其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题．

（3）有利于学生弄清曲线的切线问题

学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道在点的切线斜率k，正是割线斜率在时的极限，即:

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