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摘 要

关键词：数学归纳，构造，柯西不等式，拉格朗日中值定理，定积分中值定理

Abstract: The proof of inequality plays an important role in mathematics. This article describes several methods to prove inequality. Through the study of these proof methods, we can help us develop the ability of logical reasoning and abstract thinking.

Keywords: Mathematical induction, Cauchy inequality, Lagrange mean value theorem, definite integral mean value theorem

目 录

1引 言…………………………………………………………………………………………………… 4

2预备知识…………………………………………………………………………………4

2.1不等式的定义……………………………………………………………………… 4

2.2不等式的性质……………………………………………………………………4

3几种证明不等式方法的讨论 ………………………………………………………4

3.1放缩法………………………………………………………………………4

3.2反证法………………………………………………………………………5

3.3换元法………………………………………………………………………5

3.4数学归纳法………………………………………………………………………6

3.5构造法………………………………………………………………………6

3.6利用柯西不等式证明不等式……………………………………………………7

3.7利用拉格朗日中值定理证明不等式……………………………………………8

3.8利用定积分中值定理证明不等式………………………………………………9

结论 …………………………………………………………………………………10

参考文献……………………………………………………………………………11

致谢 …………………………………………………………………………………12

1 引言

在数学学习过程中，不等式的证明是一个重要内容，不论是在初等数学还是高等数学中，不等式的证明一直是我们数学学习的重点. 直到17世纪后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分. 在研究不等式的过程中，许多内容都是十分有用的，比如不等式的性质、不等式的证明方法以及不等式的解法. 在本文中，除了介绍了几种初等数学中的不等式的证明方法，还介绍了利用不等式性质证明不等式和利用高等数学中的著名不等式来证明不等式的方法. 希望通过这些方法的学习，能开拓我们的数学视野，深化我们对不等式证明方法的认识，以便以后我们可以利用更多的方法来解决不等式证明中的各种问题.

2 预备知识

2.1不等式的定义

用不等式将两个整式连接起来所成的式子. 在一个式子中的数的关系，不全是等式，含不等式的符号的式子，那它就是一个不等式. 用大于号“gt;”或者小于号“lt;”连接的不等式称为严格不等式. 用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，称为广义不等式.

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为

≤，

其中不等号也可以为lt;，gt;，≥中某一个，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题.

2.2不等式的性质

（1）不等式两边同时加上（或者减去）同一个数（或式子），不等号的方向不改变.

（2）不等式两边同时乘（或者除以）同一个正数，不等号的方向不改变.

（3）不等式两边同时乘（或者除以）同一个负数，不等号的方向改变.

3几种证明不等式方法的探讨

不等式的证明是数学学习中一个重要组成部分，不论是初等数学还是高等数学都是重点内容，同时也是一个比较难以掌握的内容. 不等式的证明方法灵活多样，具有较强的技巧性和综合性. 由于知识结构不同，高等数学和初等数学在不等式证明中应用的方法和思维也有所不同. 下面介绍了几种初等数学和高等数学中常用的不等式的证明方法.

3.1放缩法^[1]

放缩法是证明不等式的基本方法，所谓放缩就是将数学式中的若干项的值放大或者缩小，使不等式变得明朗化，从而证明原不等式成立. 在证明过程中为了证明gt;,由于不易直接证明，我们借助一个（或者多个）中间量作比较，证明gt;,gt;. 从而gt;成立.它的基本思想是利用不等式的传递性强化命题.

例1 已知是大于的自然数，证明lt;××…×lt;.

证明 设 =，=，

=，则有gt;gt;gt;.于是，

gt;==，所以gt;.

lt;==lt;，所以lt;.

所以lt;lt; .

3.2反证法^[2]

当给定的不等式不便直接证明，或者命题本身是一种否定命题是，可以采用反证法，反证法是一种间接的证明方法. 反证法的方法步骤是:否定结论，进行推理，引出矛盾，既得证明.

例2 已知||lt;,||lt;,证明||lt;.

证明 假设||≥，则有||≥||,两边同时平方有 ,

化简得

（-）（-）≤ 0. （1）

又因为||lt;,||lt;， 所以(-)(-)gt;0，这与（1）矛盾,所以假设不成立，必有||lt;成立.

3.3换元法^[4]

通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量（或变量），变成新的未知量（或变量），进而运用熟悉的定理或者公式解决问题. 换元法能简化不等式的证明.

例3 设=,求证 ||≤.

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