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摘 要

：本文从数项级数的定义及数项级数收敛的判别法出发,讨论类似数项级数的函数项级数一致收敛性判别法——比式判别法、根式判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法和积分判别法,并举例验证以上判别法的有效性.

关键词：函数项级数,一致收敛性,比式判别法,根式判别法,积分判别法

Abstract：From the beginning of the definition of infinite series and infinite series of convergence, we discuss the uniform convergence of function series of similar infinite series discriminant method -- the ratio test, the radical test, Abel test, Dirichlet test and integral test method.Then I make examples to validate the effectiveness of above tests.

Key words：function series, uniform convergence, ratio test, radical test, integral discriminant method

目 录

1引言 ……………………………………………………………………… 4

2数项级数定义及其收敛性判别法 ……………………………………… 4

2.1数项级数收敛性及其定义 …………………………………………… 4

2.2数项级数收敛性的判别法 …………………………………………… 4

3函数项级数定义及其一致收敛性判别法 …………………………… 5

3.1函数项级数及其一致收敛性定义 …………………………… 5

3.2函数项级数一致收敛性的判别法 …………………………………… 6

结论 ………………………………………………………………… 13

参考文献 ………………………………………………………………… 14

致谢 ………………………………………………………………………… 15

1 引言

函数项级数在数学科学本身和工程技术领域中都有重要的应用.对于函数项级数,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而且更重要的是研究函数所具有的解析性质,比如能否有函数项级数的每一项连续、可积、可微,判断出和函数的连续性、可积性和可微性.这些都对函数项级数的收敛性提出了更高的要求,即函数项级数的一致收敛性,就是把逐点收敛加强为整体收敛.众所周知,函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,而讨论其一致收敛的判别法却比较困难.一种最自然的思想是将正项数项级数收敛性的判别法推广到函数项级数一致收敛的判别法上去.文献中给出了数项级数收敛性的判别法：比式判别法、根式判别法、判别法等.本文主要是从最自然的思想出发,先讨论数项级数定义及其收敛性判别法,并通过对比和证明得出函数项级数一致收敛性的比式判别法、根式判别法、判别法、判别法、判别法和积分判别法等几种判别法,并针对这些判别法进行举例分析,灵活的运用各个判别法的特点来研究解决函数项级数一致收敛性的问题.

2 数项级数定义及其收敛性判别法

2.1 数项级数收敛性及其定义

定义1 给定一个数列,对它的各项依次用“ ”号连接起来的表达式

（1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数）,其中称为数项级数（1）的通项.数项级数（1）也常写作：或.

定义2 若数项级数（1）的部分和数列收敛于(即),则称数项级数（1）收敛,称为数项级数（1）的和,记作.

2.2 数项级数收敛性的判别法

定理1 （级数收敛的柯西准则）设级数（1）收敛的充要条件是:任给正数,总存在正数,使得当以及对任意的正整数,都有

.

定理2 （比式判别法)设为正项级数,且存在某正整数及常数.

（1）若对一切,成立不等式,则级数收敛；

（2）若对一切,成立不等式,则级数发散.

定理2.1 (定理2极限形式) 若为正项级数,且,则

（1）当时,级数收敛；

（2）当或时,级数发散.

定理3 （根式判别法）设为正项级数,且存在某正数及正常数,

（1）若对一切,成立不等式,则级数收敛；

（2）若对一切,成立不等式,则级数发散.

定理3.1 （定理3极限形式）设为正项级数,且,则

（1）当时,级数收敛；

（2）当时,级数发散.

定理4 （判别法）若为单调有界数列,且级数收敛,则级数收敛.

定理5 （判别法）若数列单调递减,且,又级数的部分和数列有界,则级数收敛.

定理6 （积分判别法）设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.

3 函数项级数定义及其一致收敛性判别法

3.1 函数项级数及其一致收敛性定义

定义3 设是定义在数集上的一个函数列,表达式

(2)

称为定义在上的函数项级数,简记为 或 .称

, (3)

为函数项级数（2）的部分函数列.

定义4 设是函数项级数的部分和函数列,函数列和函数都是定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切,都有 .则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛.

3.2 函数项级数一致收敛性的判别法

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