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摘 要

关键词：泰勒公式，常见形式，解题方法

Abstract:In this paper, we list the common forms of the Taylor formula application from the basic definition of the Taylor formula. We also discuss some typical examples of the Taylor formula in the mathematical analysis of learning. Those applications could help us build a deeper understanding of the Taylor formula.

Key words:Taylor formula，common forms，problem solving methods

目 录

1 引言 4

2 泰勒公式理论介绍 4

2.1 泰勒公式的定义 4

2.2 泰勒公式的余项 5

2.3 几种常见函数的泰勒展开式 6

3 泰勒公式的应用 6

3.1 应用泰勒公式求极限 6

3.2 应用泰勒公式进行近似计算 7

3.3 应用泰勒公式证明不等式 8

3.4 应用泰勒公式证明中值定理 9

3.5 应用泰勒公式证明级数的敛散性 10

3.6 应用泰勒公式证明存在性问题 10

结 论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1 引言

泰勒公式是微积分中最重要的结果之一，它利用导数的信息，将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和探究其他数学问题的有效工具.本文简要介绍了泰勒公式的概念[1]，各种余项[2]及几种常见函数的泰勒公式的展开式[3].同时针对泰勒公式的应用讨论了以下 6 个问题，分别是：应用泰勒公式求极限，用泰勒公式进行近似计算，应用泰勒公式证明不等式，应用泰勒公式证明中值定理[4]，应用泰勒公式证明级数的敛散性，应用泰勒公式证明存在性问题.

2 泰勒公式理论介绍

泰勒公式在数学中具有重要的作用，前人已总结出泰勒公式的定义、各种余项以及泰勒公式的几种常见函数的泰勒展开式.我们在理解泰勒公式基本定义的基础上并记住它的常见形式将有助于我们解题.

2.1 泰勒公式的定义

定理1 假定函数在点存在1到阶的各阶导数，则当时，有

.

证明 记

则不难验证 ，

在下述极限计算中连续次使用洛必达法则得到

，

考察上式最后一项（对于这个极限不能再使用洛必达法则，因为我们只假定了函数在点有阶导数，没有假定在的附近也存在阶导数，因而不能保证在附近存在导数），由式经过简单计算可以得到

，

于是式的最后一项可以写成

.　（其中用到了的定义）

将此式代入便得到，即，由此立即得到式.

2.2 泰勒公式的余项

2.2.1 带有（佩亚诺）型余项的公式

设在点有直到阶的导数，则有

， .

特别地，当时，即为麦克劳林公式.

2.2.2 带有余项与余项的公式

设函数在闭区间上有阶连续导数，在上有阶导数，

， 任意.

当时，记（或），设在上连续，在内可导

且，任意，则存在，使得

.

（其中表示开区间，表示开区间）

特别地，有下面两类余项：

若取就得余项

，

若取 就得余项

.

2.3 几种常见函数的泰勒展开式

熟悉下列常用的公式对做题会有帮助：

，

，

，

，

.

3 泰勒公式的应用

泰勒公式在数学中的应用很广泛，下面具体列出了泰勒公式在极限计算，近似计算，敛散性的判断，中值问题，等式与不等式的证明以及存在性问题这六个方面的应用，以便于大家更好的理解泰勒公式.

3.1 应用泰勒公式求极限

当极限算式比较复杂时，如同时带有幂指函数，三角函数等时，运用等价无穷小或法则时会使得计算过程变复杂，此时记住的公式，运用公式有可能会简化计算过程.

例1 求解的值.

分析 易见这是型的不定型.由于不能对加减关系的无穷小量做等价代换，因为此时会改变的实际阶数.但是用法则太繁，因此直接用公式进行化简比较方便.

解

.

这里我们通过运用公式，即运用了中的，，简化了计算的步骤.

3.2 应用泰勒公式进行近似计算

当要求的算式不能求出它的准确值时,且只需求出其近似值即可,此时泰勒公式是解决这种问题的好办法.

例2 利用泰勒公式求的近似值.

分析 不是常规的弧度，因此不能计算出正弦的精确值，此时运用泰勒公式可以计算得它的近似值.

解 首先换算成弧度，.

如果用一阶泰勒公式求的近似值，即

，

误差估计为

.

如果用三阶泰勒公式计算，则有

.

误差估计为

.

如果题目要求计算误差不超过，应当先估计余项的上界

取为何值时，能使误差？为此，应当利用解不等式，即 ，

但在一般情况下，解这种不等式比较麻烦，不如取适当的的值实验一下，例如取 时，有 ，

这个精度已经超过了要求，于是得到一个关于的误差小于的近似为

.

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