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摘 要

本文主要对数学归纳法的定义、发展历程、表现形式以及在数学问题中的应用进行较为完整的系统论述，重点阐述了数学归纳法的思想方法和一般的解题思路，及其在数学问题中的应用和技巧.

关键词：归纳法，数学归纳法，思想方法

Abstract:In this paper we discuss the definition of mathematical induction,development course,forms,and a complete system is made in the application of mathematical problems,focused on the ideas of the mathematical induction method and the general problem solving ideas,and its application in mathematics problems and skill.

Keywords:induction,mathematical induction,thinking method

目 录

1 引言 …………………………………………………………………………………………………… 4

2 归纳法 ……………………………………………………………………………………………… 4

2.1 归纳法的定义 …………………………………………………………………………………… 4

2.2 归纳法的作用 …………………………………………………………………………………… 4

3 不完全归纳法 ………………………………………………………………………………………4

3.1 不完全归纳法的定义 ………………………………………………………………………… 5

3.2 不完全归纳法的作用 ………………………………………………………………………… 5

4 数学归纳法 ………………………………………………………………………………………… 5

4.1 数学归纳法的定义……………………………………………………………………………… 5

4.2 数学归纳法的作用……………………………………………………………………………… 6

5 数学归纳法的发展历程………………………………………………………………………… 6

6 数学归纳法的表现形式………………………………………………………………………… 7

6.1 第一数学归纳法 ……………………………………………………………………………… 7

6.2 第二数学归纳法 ……………………………………………………………………………… 7

6.3 倒退归纳法………………………………………………………………………………………… 7

6.4 螺旋式归纳法 …………………………………………………………………………………… 8

7 数学归纳法解决应用问题 …………………………………………………………………… 8

7.1 代数恒等式………………………………………………………………………………………… 8

7.2 排列和组合………………………………………………………………………………………… 8

7.3 不等式 ……………………………………………………………………………………………… 9

结论………………………………………………………………………………………………………… 11

参考文献 ……………………………………………………………………………………………… 12

致谢………………………………………………………………………………………………………… 13

1 引言

在中学数学学习的过程中，经常遇到证明与自然数有关的命题.我们会发现有不少命题用其它方法来证明会很难并且很复杂.而采用数学归纳法这一特殊的方法，不但巧妙，而且简单，且不易错，是中学数学中大多数学生喜欢用的证明方法.它的重要性，常用性可想而知.

从它的发展历程来看，数学归纳法经历了两千多年的发展，数学家经过数以千万计的题目论证、推理，归纳演绎出了现在比较成熟的数学归纳法.从本质上理解数学归纳法，即要认识其中所含的数学思想，即“归纳思想”，“递推思想”，“无穷思想”，“模式思想”.理解了数学归纳法的本质，就能帮助学生很容易的解决一些相关的数学问题.

现在我们来认识一下数学归纳法.数学归纳法主要分为第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒退归纳法还有螺旋式归纳法.由于其贯穿于发现问题和解决问题的全过程，且其特有的解题技巧和固定的解题格式，是人们求解数学问题最常用、最重要的方法之一.

数学归纳法与其他证明方法相比，由于其固定的两步骤，让学生看起来误以为蛮简单，易懂，实则难以理解，不能完全掌握其中的“归纳——演绎法”的思想.我们发现数学归纳法总是要经过发现到论证的阶段，因此重点是如何去发现.本文会带领大家更深一步的了解数学归纳法.

2 归纳法

2.1 归纳法的定义

归纳法或归纳推理，有时也叫作归纳逻辑，是从个别性知识引出一般性知识的推理，是由已知真的前提引出可能真的结论.

2.2 归纳法的作用

归纳法有两种，第一种先举事例再归纳结论，第二种先提出结论再举例加以证明.第一种就是我们通常所说的归纳法.归纳推理是一般的认知过程，但是由于人们通常是在有限的事例前提下归纳得出的结论，所判定的知识范围超过了前提所给定的知识范围，所以这样的结论并不一定正确，它的前提与结论之间的联系不具备必然性.

例如：（1）冰是冷的.推断出这样的结论如：所有的冰都是冷的.或者：在太阳底下没有冰.（2）我们在买葡萄时候往往先尝一两颗，如果很甜，我们就会推断出这样的结论：这串葡萄就会很甜.

我们把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理主要根据考察对象范围的不同.完全归纳推理针对的是一类事物的全体，不完全归纳法推理仅仅针对一类事物的部分对象.

3 不完全归纳法

3.1 不完全归纳法的定义

不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理.不完全归纳法又叫做普通归纳法.

3.2 不完全归纳法的作用

在小学数学中的定律、性质、法则等知识，老师只是把结论告诉给学生，然后让学生运用，没有进行严格的数学证明.因为在小学数学里，小学生不能理解这些定理，性质还有法则等知识的有关证明，所以采用不完全归纳法进行推理来证明这些定理、性质还有法则的正确性.

例如：求多边形内角和的公式时候，先通过三，四，五，六边形的内角和去寻找规律.从每个多边形的一个顶点引出所有的对角线，那么，四边形被分成两个三角形，五边形被分为三个三角形，六边形被分为四个三角形，则下这样的结论：所分得的三角形的个数总是比它的边数少2，而三角形内角和是，因此，归纳出边形的内角和公式是.这种归纳法是在有限事实的前提下，进行分析研究的，最后找出规律.

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