函数的最值问题
2023-06-16 11:18:51
论文总字数：6164字
摘 要
：本文主要从初等解法方面对函数最值进行研究，阐述研究函数最值的重要性，总结了求解函数最值的几种方法及求解函数最值的注意点。关键词：函数，最大值，最小值
Abstract: In this paper, we mainly research the maximum and minimum of function by elementary methods .We discuss the importance of the maximum and minimum of function , and give several methods to discuss the maximum and minimum of function.In this paper we summarize the points of attention in solving the function most value.
Key words: functions, the maximum value, the minimum value
目 录
1 引言3……………………………………………………………… 4
2 函数最值的定义3………………………………………………… 4
3 求解函数最值的方法3…………………………………………… 4
3.1 判别式法3……………………………………………………… 4
3.2 配方法3………………………………………………………… 5
3.3 单调性法3……………………………………………………… 5
3.4 求导法3………………………………………………………… 6
3.5 均值不等式法3………………………………………………… 6
3.6 换元法3………………………………………………………… 7
3.6.1 三角换元法3………………………………………………… 7
3.6.2 代数换元法3………………………………………………… 7
3.7 构造法3………………………………………………………… 8
3.8 反函数法3……………………………………………………… 9
3.9 数形结合法3…………………………………………………… 9
3.10构造向量法,……………………………………………………10
3.11三角函数法,……………………………………………………10
4求函数最值的注意点,,……………………………………………11
4.1注意定义域,,……………………………………………………11
4.2注意值域,,………………………………………………………11
结论3…………………………………………………………………12
参考文献3……………………………………………………………13
致谢3…………………………………………………………………14
1 引言
函数最值是函数的重要组成部分，是中学数学的主体内容，贯穿整个中学阶段，也是生产、科学和日常生活中经常遇到的一类比较特殊的问题。它遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中。它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题。掌握函数最值问题对巩固基础知识，提升学生思维能力有重大作用。一直以来，就有很多学者致力于函数最值的研究。赵培信和归雪萍对均值不等式巧解函数最值问题进行了总结，马剑飞探析了带根式的最值，宁广祥和陈旭探究了三角函数最值求法，本文将在此基础上从函数最值定义出发，探索常用的函数最值求解方法，总结函数最值求解过程中的注意点。
2 函数最值的定义
定义1 设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意实数，都有，②存在，使得，那么，我们称实数是函数的最小值。
定义2 设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意实数，都有，②存在，使得，那么，我们称实数是函数的最大值。
3 求解函数最值的方法
函数最值经常与三角函数、不等式、一元二次方程、二次函数及某些几何知识紧密联系。因此，函数最值的解法十分灵活。求解函数最值要掌握各数学分支知识，要能够灵活运用各种数学技能，选择合理解题方法。下面这一章节将对函数最值的求法作一个简单的归纳。
3.1 判别式法
求形如函数的最值问题，我们通常使用判别式法解决。
原函数可化为的一元二次方程:
①当时，即时，若有解则可取到，若无解则不能取到。
②当时，一元二次方程有实根，所以判别式，即可得到的取值范围。
综上①、②可解得原函数的值域，从值域中可得到最大值和最小值。
3.2 配方法
如果给定的函数是二次函数或者经过转化后可以化为二次函数的情况，一般可以用配方法求解最值。
例1 已知为实数，求代数式的最小值和取得最小值时的值。
解： ，而和恒成立。所以当且仅即时，取得最小值是。
求解形如的二元函数的最值时，常常使用配方法。这种解题方法通俗易懂，配方时，将看作关于的二次多项式，将看作是常数，将配方成两个一次式的平方和加上一个常数的形式。
3.3 单调性法
利用单调性法求函数最值是种常用的求最值方法。先要判明函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值。
例2 函数定义域为，对任意的都有且时。试求在区间上函数最大值和最小值。
解：令，则所以，令
则即，所以为奇函数。
设，则，而即所以在上为减函数。
又，所以，
又在上为减函数，所以，。
对于一些没有给出具体表达式的函数和一些复合函数，我们无法直接通过导数来求函数的最值，这时我们可以尝试利用函数单调性的定义，综合考虑函数的奇偶性，判断出函数在给定区间的单调性，从而解决最值问题。
3.4 求导法
在我们学习了导数之后，会发现用导数求函数的最值要比初等方法简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法。
例3 求函数在上的最大值与最小值。
解：由得。令解得,列表讨论如下：
X | -2 | (-2,-1) | -1 | (-1,1) | 1 | (1,2) | 2 |
| 0 | - | 0 |
| |||
Y | -37 | 极大 | 极小 | 39 |
又因为当时；当时而函数在两个端点的函数值分别为。
因此函数最大值为，最小值为。
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