循环矩阵及其性质
2023-06-19 08:05:48
论文总字数：3510字
摘 要
本文介绍了循环矩阵的定义，归纳了循环矩阵的一些基本性质和循环矩阵行列式的计算方法，证明了循环矩阵可对角化，总结了循环矩阵求逆的两种方法。关键词：循环矩阵，行列式，对角化，逆矩阵
Abstract: In this paper, the related definition of cyclic matrix and some of its basic properties were introduced. The cycle matrix determinant calculation method , related properties of diagonalization and the methods of cyclic matrix inversion were summed up out .
Key words: cyclic matrix, determinant, diagonalization, inversion matrix
目 录
1相关定义………………………………………………………………4
2基本性质及证明………………………………………………………4
3循环矩阵行列式的计算………………………………………………7
4循环矩阵对角化相关性质……………………………………………9
5循环矩阵求逆…………………………………………………………10
结束语…………………………………………………………………14参考文献………………………………………………………………15致 谢……………………………………………………………………16
1 相关定义
定义1 设是数域上的个数，形如
，
阶方阵称为关于的循环矩阵.简记为
circ.
特别地,记阶循环矩阵
,
为阶基本循环矩阵，即为circ.易看出,
,.
(为阶单位矩阵)都是循环矩阵, 由此得
.
设
,
则.
2 基本性质以及证明
性质1 循环矩阵是线性无关的.
证明 设存在，使得
,
即
,
所以有，即循环矩阵是线性无关的.
性质2 设为阶循环矩阵，则都是循环矩阵，且满足.
证明 设
，，则
.
即为循环矩阵.设
，
.
因为（其中为非负整数，），所以
则为阶循环矩阵，且.
性质3 若阶循环矩阵可逆，则的逆矩阵也是循环矩阵.
证明 因为为阶可逆循环矩阵，则可设
=,
令阶循环矩阵为
，
则有
，
,
令，则以下方程组需成立
因为可逆，从而线性方程组有唯一的解，因此可得到唯一的矩阵，使.
性质4 设是阶可逆的循环矩阵，的伴随矩阵也是循环矩阵.
证明 的伴随矩阵，由性质2可知
,
为循环矩阵，因此
也是循环矩阵.
例1 设循环矩阵
,
求的伴随矩阵.
证明 通过矩阵的初等行变化可知
,
所以==.那么根据性质4可知
=.
3 循环矩阵行列式的计算
性质1 设有阶循环矩阵
,
那么
.
例2 计算循环矩阵
的行列式的值.
解 由上述方法得
.
- 当循环矩阵
,
证明
证明 由性质1得
.
4 循环矩阵对角化相关性质
性质6 基本循环矩阵可以对角化.
证明 由于
，
所以
.
从而它在复数域上有个不同的特征值, 即
.
因此基本循环矩阵可以对角化.
性质7 阶循环矩阵可对角化.
证明 设一元多项式
,
由于,由性质6可知可对角化，所以存在可逆矩阵使得
.
其中
,
即为所有次单位根，因此
，
则阶循环矩阵可对角化.
例4 求循环矩阵
=
的对角化矩阵.
证明 设
,
设为单位根.且令
，
则的特征根分别为
.
由性质7可知的对角化矩阵为
.
5 循环矩阵的求逆
循环矩阵的求逆可以用初等变换法、伴随矩阵法、分块矩阵法等一般的方法来求解，但作为一类特殊的矩阵，如果用这些方法来求逆未免太麻烦。下面给出的两种方法比现有的方法更简单，适用的范围更广.
方法1 设为阶循环矩阵，有维向量,对矩阵对矩阵进行初等行变换，使矩阵变成单位矩阵，变为，那么
.
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