Liouville型恒等式及因子和函数的递推公式
2023-06-20 09:10:49
论文总字数：3532字
摘 要
本文建立了一个新的Liouville型恒等式，并由之导出包含因子和函数的两个递推公式。关键词：Liouville恒等式，偶函数，因子和，递推公式
Abstract: In this paper, we establish a new identity of Liouville type and then deduce two recurrence formulas involving the sum of divisors. .
Key words : Liouville identity , even function , the sum of divisors , recurrence formula
目 录
1. 引言…………………………………………………………………………4
2. Liouville型恒等式…………………………………………………………5
3. Liouville型恒等式在因子和函数中的应用………………………………8
结 论……………………………………………………………………………11
参 考 文 献……………………………………………………………………12
致 谢……………………………………………………………………………13
1 引言
十九世纪法国数学家Liouville在晚年建立了18个关于奇函数和偶函数的恒等式，并从中导出因子和函数的递推公式和自然数表为平方数或三角形数和的方法数公式，参见[1-5]。如Liouville指出如下恒等式：
=
其中为正整数集合，为偶函数,和分别表示的正因子和与正因子个数，即
， .
本文从[2]中Huard-Ou-Spearman-Williams恒等式出发证明了如下Liouville型恒等式：
（1.1）
这里为给定的偶函数，
， .
在（1.1）中取，我们得到如下关于和的两个递推公式：
=，
=.
其中，，
本文中表示整数集合，表示复数集合，表示不超过的最大整数。
我们也使用如下的记号：
，
2 Liouville型恒等式
引理2.1. （[1， Theorem 3.1]）设为到上的函数，若对任意，，， 有：
则对有
定理2.1. 设为到上的函数，则
证明：对，，， ，令 ，则
=
=
=
易见
故由引理2.1知
=
显然有
若为奇数，则
===
若为偶数，则
===
故
（2.1） =
又由于
（2.2）
，
（2.3） = ，
（2.4） =
故有
于是定理2.1得证。
3 Liouville型恒等式在因子和函数中的应用
现在利用定理2.1推导因子和函数的递推公式.
定理3.1. 设为自然数，则有
=
证明：由于
===
故在定理2.1中取得
由于
，
所以
=，
即
=.
于是定理3.1得证。
定理3.2. 设为自然数，则有
=
证明：由于
=== ，
= .
故
于是在定理2.1中取得
由于
=
所以
=
即
=
于是定理3.2得证。
结 论
本文通过Huard-Ou-Spearman-Williams恒等式中取特例导出新的Liouville型恒等式，并由此推导出关于因子和函数的两个递推公式。
今后有望利用Huard-Ou-Spearman-Williams恒等式导出其它的Liouville型恒等式与因子和函数递推公式。
参 考 文 献
[1] Williams K.S. . Number Theory in the Spirit of Liouville [M]. New York : Cambridge Univ. Press, 2011.
[2] Williams K.S. . An arithmetic proof of Jacobi’s eight squares theorem [J]. Far East J. Math. Sci. ,2011, 6 : 1001-1005.
[3] Venkov B.A. . Elementary Number Theory [M]. Groningen, The Netherlands : Wolters-Noordhoff Press, 1970.
[4] Nathanson M.B. . Elementary methods in number theory [J]. Springer New York, 2000.
[5] Huard J. G., Ou Z. M.，Spearman B. K. and Williams K. S. . Elementary evaluation of certain convolution sums involving divisor functions, in: Number Theory for the Millennium II（edited by Bennett M.A.,Berndt B.C. etc.）[M]. Natick,Massachusetts : A.K. Peters,2002：229-274.
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