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摘 要

如果{a_n}和{ b_n }是两个序列，满足a₁=b₁和b_n a₁b_n-1 … a_n-1b₁=na_n (ngt;1),则称(a_n,b_n)是一个Newton-Euler序列对.本文主要给出了Newton-Euler序列对的三个例子及其应用.

关键词：Newton-Euler序列对,母函数，序列，行列式

Abstract：If {a_n} and { b_n } are two sequences satisfying a₁=b₁ and b_n a₁b_n-1 … a_n-1b₁=na_n (ngt;1), then we say that (a_n,b_n) is a Newton-Euler pair. In this paper, we give three examples of Newton-Euler pairs and their applications.

Key Words：Newton-Euler pair, generating function, sequence, determinant

目 录

1 引言…………………………………………………………………………………………………4

2 为Newton-Euler序列对………………………………………………… 5

3 为Newton-Euler序列对…………………………………………………7

4 为Newton-Euler序列对…………………………………………………10

5 为Newton-Euler序列对……………………………………………13

结论 ……………………………………………………………………………………………………17

参考文献………………………………………………………………………………………………18

致谢 ………………………………………………………………………………………………19

1 引言

如果{}和{b_n}是两个序列，满足=b₁和b_n b_n-1 … b₁=n (ngt;1), 在[3]中孙智宏称(,b_n)是一个Newton-Euler序列对，并研究了Newton-Euler序列对的性质.在[1-2]中也有与Newton-Euler序列对相关的一些结果.特别孙智宏证明了如下结果：

定理1.1 ([3, Theorem 2.1]) 设{}和{b_n}是两个序列，A(x)=，B(x)= , 则下列陈述等价：

(i) (,b_n)是一个Newton-Euler序列对.

(ii) B(x)=xA^’(x)/A(x).

(iii) A(x)=e.

定理1.2 ([3, Theorem 2.2]) 若(,b_n)是一个Newton-Euler序列对，则

=.

b_n=n.

定理1.3 ([3, Theorem 2.3]) 设(a_n,b_n)是一个Newton-Euler序列对， 则

=.

b_n=.

本文主要证明了,,和 为Newton-Euler序列对.

2 为Newton-Euler序列对

定理2.1 设为实数，则为Newton-Euler序列对.

证 令=， b_n=，对n施行数学归纳法.

当 n=1时， =，b₁=，故=b₁ 成立.假设当n=k时成立，即

b_k b_k-1 … b₁=k (kgt;1).

当n=k 1时有

b_{k 1} b_k b_k-1 … b₂ b₁

=(-1) b_k b_k b_k-1 … b₂ b₁

=(-1) b_k-b_k-1-b_k-2-…-b₁ b₁

=- ( b_k b_k-1 … b₁) b₁

=-k b₁

=(-k),

(k 1)=(k 1)

=,

而

=，

故

(k 1)= (-k),

b_{k 1} b_k b_k-1 … b₂ b₁=(k 1).

于是当n=k 1时 等式成立, 从而是一个Newton-Euler序列对.

(i)(ii) 令A(x)= 1 ，B(x)= ，则

A(x)=1 x xⁿ …

=1

=，

B(x)= =,

从而有

B(x)=xA^’(x)/A(x).

(ii)(iii)由于 ,

e=e=e=,

A(x)=，

故有 A(x)=e.

于是由定理1.1知定理正确.

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