与二项式系数相关的序列的一些性质
2023-06-20 09:10:51
论文总字数：3844字
摘 要
对自然数ngt;2，令f0(n)是使得Cnkgt;2n/n成立的最小正整数k，f1(n)是使得Cnk gt;2n/(n 1)成立的最小正整数k，本文给出了f0(n)和f1(n)的四个新的性质.关键词：序列，二项式系数，不等式
Abstract：For a positive integer ngt;2, let f0(n) be the least positive integer k such that Cnkgt;2n/n and let f1(n) be the least positive integer k such that Cnk gt;2n/(n 1). In this paper we give four properties of f0(n) and f1(n) .
Keywords：sequence, binomial coefficient, inequality
目 录
1 引言 4
2 定理1的证明 5
3 定理2的证明 5
3.1 引理 5
3.2 定理2的证明 6
4 定理3的证明 6
5 定理4的证明 6
5.1 引理 6
5.2 定理4的证明 7
结论 12
参考文献 13
致谢 14
1 引言
在本文中，N为正整数集，为正整数，为不超过的最大整数，为大于或等于的最小整数.对于和，我们有
，从而.
由当时，得.
对，我们定义为使得成立的最小正整数,为使得成立的最小正整数.由定义知.
在文献[1]和[2]中，孙智宏与D.Kim给出了与的一些性质.如有：
性质1 当时，且.
性质2 当时，且.
性质3 当时，.
性质4 当且时，且
.
性质5 当时，，.
性质6 当时，.
本文进一步研究与的性质，得到如下四个定理：
定理1 设，则存在,使得.
定理2 当时，和.
定理3 当，时，.
定理4 设，，则.
2 定理1的证明
定理1 设，则存在,使得.
证明：对施行数学归纳法.当时，由于，故等式成立. 假设时，存在,使得 现在考虑的情形.先假定. 因为时，等式成立.所以只需考虑的情形，先假设，由于等式成立,而时，由性质1和性质5知，，等式也成立,故在此假设下等式是成立的.再假设，则由性质4可知 =k，(n 3)=
=k 1,从而有 ,故等式成立.由上述可知在此假定下等式是成立的.再假定，则由性质4可知，=
，从而有，故等式成立.由上述知当时，存在使得根据归纳法知时，存在使得.
推论1 设，则存在，使得.
推论2 设，则存在，使得.
推论3 有无穷个使.
证明：假设有个使，即可设
，
其中，则有.
由性质4知
, ,
即与矛盾，故假设不成立，从而有无穷个使
3 定理2的证明
3.1引理
引理1 当，时，.
证明：先假定，则由性质2知.再假定，则由性质1和性质5可知.综上引理得证.
引理2 当，时，.
证明：先假定，则由性质2知.再假定，则由性质1和性质5可知.综上引理得证.
3.2 定理2的证明
定理2 当时，和.
证明：先假设，由引理1知结论是正确的.再假设，则，由性质1可知或.由上述知{}.
先假设，由引理2知结论是正确的.再假设，则，由性质1可知= 1或.由上述知{ 1}.
4 定理3的证明
定理3 当，时，.
证明：由性质4知
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