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摘 要

x₁(x₁-1)/2 3x₂(x₂-1)/2 x₃(x₃-1)/2 3x₄(x₄-1)/2和x₁(x₁-1)/2 x₂(x₂-1)/2 x₃(x₃-1)/2 x₄(x₄-1)/2 k(x₅(x₅-1)/2 x₆(x₆-1)/2 x₇(x₇-1)/2 x₈(x₈-1)/2)(k=2, 3)的方法数。我们也获得了Ramanujan 函数的六个新公式。

关键词： Liouville恒等式，三角形数，因子和，偶函数

Abstract: In this paper, by using Liouville’s identities and formulas for convolution sums involving the sum of divisors we deduce formulas for the number of representations of n as x₁(x₁-1)/2 3x₂(x₂-1)/2 x₃(x₃-1)/2 3x₄(x₄-1)/2 and x₁(x₁-1)/2 x₂(x₂-1)/2 x₃(x₃-1)/2 x₄(x₄-1)/2 k(x₅(x₅-1)/2 x₆(x₆-1)/2 x₇(x₇-1)/2 x₈(x₈-1)/2) (k=2,3). We also obtain six formulas for Ramanujan’s function.

Key words: Liouville’s identity, triangular number, the sum of divisors, even function

目 录

1. 引言………………………………………………………………………………………………4

2. 的一般公式…………………………………………………………………………5

3. 的一般公式…………………………………………………………………7

4. 的一般公式……………………………………………………………………9

5. 与的计算公式…………………………………………………………………11

6. 的一些公式………………………………………………………………14

结论………………………………………………………………………………………………………19

参考文献 ………………………………………………………………………………………………20

致谢 ………………………………………………………………………………………………21

1． 引言

19世纪法国数学家Liouville 提出了18 个在数论上有重要用途的恒等式(可参见)，这些恒等式可以用来计算一些因子和函数的卷积和，也可以计算一些类似 的和, 这里N为正整数集，，表示Legendre-Jacobi-Kronecker符号，其中,且，一些简单的的值如下：

在计算一个自然数n表为若干个平方数或三角形数（形如，）和的方法数时，这些卷积和公式和 的公式起着非常重要的作用。例如在中，通过用这些公式计算得到了：

， ，

这里为表为四整数平方和的方法数，为表为四个非负三角形数和的方法数，

我们用表示非负三角形数组成的集合，即，并令

，

即表示不定方程在中解的个数。在本文中，我们利用Liouville恒等式和因子和的卷积和得到了一些自然数n表为三角形数和的方法数公式，如（参见定理2.1），（参见定理3.1），（参见定理4.1）。虽然 的公式在中已经得到，但用的是一些比较高深的方法，而我们只用了一些相对较初等的方法就得到了这个公式。令

，

，，

在本文的最后，我们得到了如下与Ramanujan函数有关的因子和函数的卷积和公式，一些其它的因子和的卷积和公式见，

，

，

我们也得到了如下的因子和函数的卷积和公式，

，

，

，

.

2． 的一般公式

在证明的公式时需用如下引理，这些引理都是已知的。以下都用，表示复数集。

引理2.1 ,. 设，则

.

引理2.2 . 设,,则有

,

这里 其中.

引理2.3 . 设为到的映射，且为偶函数，则时有

,

这里 .

若(m为奇数)，则引理2.3等价于：

引理2.4 . 设为到的映射，且为偶函数，则时有

.

定理2.1. 如果，（，）, 那么

.

证明:

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