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摘 要

关键词：贝塔函数，伽玛函数，随机分配

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Abstract：Beta distribution is an important distribution, which acts a very important role in probability theory and mathematical statistics. This paper mainly discusses the nature of the beta distribution, such as the mathematical expectation, variance and its relations with binomial distribution, introduces some applications of the beta distribution.

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Keywords：Beta function, Gamma function, random assignment

1 引言

在概率论与数理统计中，贝塔分布与贝塔分布的一些性质是非常重要的。贝塔分布不仅与伽马函数以及很多随机分布有着密切的联系，而且与实际生活也是紧密相连的。本文系统介绍了贝塔分布有关知识及其性质，以便自己多了解这方面的知识。

千万不要以为贝塔分布距离我们很遥远，其实在我们的日常生活中有很多实际事例。如有些呈现气态的水离子蕴含在空气中，而如何来完整的表达这种水分多少就要用到一个名词叫做相对湿度。现在我们手机许多带有天气预报功能的APP都会附带显示相对湿度这样的信息，它能帮我们及时掌握湿度变化。我们知道相对湿度的计算值介于0~1之间浮动，我们通常用百分比表示。上述这些潜在的信息表明相对湿度或许符合贝塔分布的有关规律。我国相关的科研工作者马淑红等若干人员共同完成的“塔里木气候极值极其在油田工程设计中的应用”的方法论中，刘绍民等有关人员详细的分析比较了塔里木盆地的日间最高相对湿度和夏季最低相对湿度，结果都表明他们是吻合贝塔分布。

贝塔分布已被应用到有限长度的时间间隔的随机变量模型的各种学科。例如，它可以描述人口基因遗传学中的频率，控制系统的时间分配，变异的土壤性质，岩石中的矿物比例以及艾滋病毒传播等领域。

2 Beta分布定义

定义1 称以下函数

为贝塔函数，其中参数agt;0，bgt;0。

注 1) 对贝塔函数有B（a，b）=B（b，a）。事实上只要在上述积分中令y=1-x，即得

2) 贝塔函数与伽玛函数间有下述等式

事实上由伽玛函数的定义知

作变量变换 x=uv，y=u（1-v），其雅可比行列式J=-u。故

从而

故

定义2 若随机变量X的的密度函数为

则称X服从贝塔分布，记作X~Be(a,b)，其中agt;0，bgt;0都是形状参数。

注 1) 下图给出几种典型的贝塔密度函数曲线。

（1）当alt;1，blt;1时，p（x）是下凸的U形函数。

（2）当agt;1，bgt;1时，p（x）是上凸的U形函数。

（3）当alt;1，bgt;=1时，p（x）是下凸的单调减函数。

（4）当agt;=1，blt;1时，p（x）是下凸的单调增函数。

（5）当a=1，b=1时，p（x）是常数函数，且Be（1，1）=U（0，1）。

2) 贝塔分布B（a，b）是仅在区间（0，1）上取值的，所以机器的维修率、产品的不合格率、射击的命中率、市场的占有率等等各种比率选择贝塔分布当作它们的概率分布是合理的，只需要选择适当的参数a和b就可以了。

3 贝塔分布性质

性质1 X~B(a,b)，则有.

证 由数学期望定义得

性质2 X~B(a,b)，则有

证 由贝塔的数学期望得

由上面可得X的方差是

性质3 (欧拉反射公式)

利用贝塔分布的性质可以简化积分运算。

例 对于正数a,b有

证 令， 则 ，

故

性质4 若X~U[0，1]，抽取一容量为2n 1的样本，则对中位数有

证 因X~U[0，1]，所以

而样本中位数的概率密度为

因为B(1,1)=1，故当p=q=1时，B(1,1)=1即为U[0，1]。

注 上面的性质可以推广为：向线段[0,1]上独立地连续投n个随机点，如果每个点都服 从U[0,1]，那么从左侧起第k（k=1，2，3，…,n）个落点的概率分布为。

性质5 如果，并且p，q都是正整数，那么，并且x取值p~p q 1。

证 因为，则有

其中， 称之为不完全函数。

当pgt;0,时

在上式中，如果p,q都是正整数时

那么，，容易得知上式为-n=p q-1,p=x并且取值于 p~p q-1间的二项分布的分布函数。

类似地，也同样可以导出与负二项分布间的关系。

性质6 如果，那么p=q=1/2时是反正弦分布。

证 令p=q=1/2,因为 ,所以

性质7 如果F(m,n)是一F-分布，那么服从。

证 假设F-分布的密度函数为h(x),在中求关于F的导数，

因此 T=G(F)严格单调上升，它反变换成

并且

由此可得T的密度函数为

=

性质8 若独立同分布于，那么服从 。

分析 因为

而

进而就可以推出结论。

性质9 如果，随机变量1-X的分布与随机变量X的分布有着微妙的联系。

证 因为

即

又有

又

=1

所以，。

结 论

由于时间与能力的有限，本文在前人研究的基础上研究，根据贝塔函数的性质，可以算的贝塔分布的数学期望，方差等。同时也研究了贝塔函数的导数与微分公式。以及就是有关贝塔函数和贝塔分布的一些性质的证明与探讨。

参 考 文 献

[1] 程依明.概率论与数理统计教程[M]北京：高等教育出版社，2012：117-120.

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