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摘 要

高次不定方程是中学数学竞赛的考点，对于指导学生参加中学数学竞赛有很重要的现实意义. 其中蕴含的数学思想主要是方程与函数思想、分类讨论思想、化归和转化思想. 常用的探讨高次不定方程的初等求法有公式法；奇偶分析法；判别式法；配方法，三角代换法等. 本文主要讨论了高次不定方程的解题思想及其在竞赛中的应用.

关键词：高次不定方程，初等求法，中学数学竞赛

Abstract: Higher order indefinite equation is the knowledge of middle school maths contest, is an important significance of improve the ability. The important mathematical way of thinking including it are the functional thinking,  the maths classified discussion, the changing idea. The common methods to discuss it are odd and even statistics analysis, etc. This paper mainly discusses the application of the methods of solving the equations in the contest.

Keywords：higher order indefinite equation, elementary solution,  middle school maths contest

目 录

1 前言 3

2 高次不定方程 4

3 初等求法 4

3.1 公式法 4

3.2 奇偶分析法 5

3.3 判别式法（韦达定理） 7

3.4 配方法 8

3.5 三角代换法 9

3.6 分离整数法 9

3.7 余数分析法 10

结论 11

参 考 文 献 13

1 前言

不定方程是指未知数个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组(如要求有理数、整数、或正整数等). 高次不定方程的解题思想是通过适当的方法，把高次方程转化成次数较低的方程求解.

关于求不定方程，一些教科书上都有详细的讨论，固定的解题方法. 但是从整体上来说，学生对不定方程的理解还算比较少，特别是高次不定方程. 对于特殊的不定方程要根据其具体的形式，来分析它们整数解的情况. 掌握这些知识不但可以促进对其他学科的学习与研究，还能提高学生的解题能力，培养思维的灵活性，敏捷性. 但是高次不定方程涉及的领域十分广阔，有一定的难度，因而在此只研究其简单和特殊的情形，用一些常用的初等求法来求解. 不定方程解的问题，不仅涉及到方程的内容，而且涉及到数论的知识. 这类问题综合性大，技巧性强，解法灵活.

2 高次不定方程

高次不定方程的解题思想是通过适当的方法，把高次方程转化成次数较低的方程求解. 在各类中学数学竞赛中，高次不定方程也占有一定的比例，因此需要了解高次不定方程的基本知识，掌握解高次不定方程的初等求法.

3 初等求法

主要有公式法、奇偶分析法、判别式法（韦达定理）、配方法、三角代换法、分离整数法、余数分析法.

3. 1 公式法

定理^[1]：二元一次不定方程（其中、、为整数且） （1） 有整数解的充要条件是，若此方程有一组整数解，则它的所有整数解可表示为 ， （2）

因此，当时，只需求出一组整数解，就可以用（2）求出（1）的全部解，即解（1）称之为特解，（2）称之为通解.

例1 求不定方程的整数解.

解 因为，所以原方程有整数解，并且等同于方程. （1）又因为，所以

，

从而.

于是得到（1）的一组特解为，所以（1）的全体整数解为，为整数（即方程的全部整数解）.

例2 求不定方程的所有正整数解.

解 原方程左边因式分解，得 .

令， （1）

， （2）

， （3） 分别解出这三个二元一次不定方程，得到（1）的正整数解显然为，可以得到（2）的一组整数解为，则（2）的全部整数解为，.

令，解得，即,所以（2）的正整数解为. 可以得到（3）的一组整数解为，则（3）的全部整数解为.

令，又因为是整数，所以不可能，故（3）无解.

综上，原方程的正整数解为,

总结 形式较为简单的可以直接通过观察找出特解，然后根据公式法代入求出方程的全部整数解；形式较为复杂的，需要先用分解法将其化简成几个形式较为简单的式子的乘积或者其他形式，然后再依次求解，最后得到最终答案. 其中运用了方程与函数的数学思想.

3. 2 奇偶分析法

定义 把利用奇数、偶数的性质分析问题的本质特征来求解数学问题的方法，称之为奇偶分析法.

整数按能否被整除分为奇数和偶数两大类.

性质① 设为整数，则与 奇偶性相同，的奇偶性也相同.

性质② 若为整数，为奇数，则的奇偶性与相反. 若为整数，为偶数，则的奇偶性与相同.

性质③ 若是整数，是奇数，则的奇偶性与相同.

利用整数的奇偶性求解.

例3 若正整数满足，则.

解 因为是奇数，所以奇偶性不同.

不妨设为奇数，为偶数，因为，个位数是，所以的个位数一定是，则的个位数字必是或或或 ，又因为，则除以的余数必为.

由知，，所以的可能值为，代入得，

当时，有，使，所以

例4^[3] 求的正整数解.

解 因为为偶数,故奇偶性相同.

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